岩土工程师注册:高等数学ppt课件.pdf
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1、高等数学-函数、极限、延续1函数(1)函数的定义注意:仅当两个函数的对应规律和定义域均相同时,它们才是同一函数。例:/(%)=e比,与g(x)=x不是同一函数。(2)函数的性质:有界性、单调性、奇偶性、周期性。(3)反函数(4)初等函数:由常数函数和基本初等函数经过有限次 四则运算和函数复合构成的函数。注意:熟练地将初等函数拆成若干个常数函数和 基本初等函数的四则运算或函数复合。2极限1)数列极限:lim x,二4性质:若教列收敛,则必有界,反之不一定成立。2)函数极限(1)当工78时,/(工)的极限:lim f(x)=Ax-00lim f(x)=A o lim/二 lim/二 A 14+8
2、XT-0(2)当工-m时,/(i)的极限:lim/(工)二/2/lim f(X)=A o lim f(x)=lim/二 41 X-Xq3)无穷小与无穷大(1)无穷小与无穷大的定义(2)无穷小的比较:设lim a(X)二0,lim夕(工)二0.若lim优()二0,称a是比夕(工)高阶的无穷小,记作a(工)二o(夕(工)卜 P若lim 二3,称。是比少低阶的无穷小;P若lim 二c(c工0),称。与夕为同阶无穷小;B特利也,若C二1,称a与夕(X)是等价无穷小,记作。Mx).(3)等价无穷小代换定理若a a,夕;且l im夕一存在,则有:l im匕=l im.a a a几个常用的等价无穷小:)0时
3、,sin x x,ta n x x,a rc sin x x,a rc ta n x x,l n(l+x)x,/_L cx-1 X,1-C 0 S X,a/1+x-1 X.2 n4)函教极限的四则运算法则5)两个重要极限 sin x 1l im-二 I;2 xl im(I+x)x=e工306)一个重要结论“0 x+bin00,n m.7)几种常用的求极限的方法(1)利用两个重要极限求极限(2)利用无有小的性质“无穷小与有界 函数的乘积是无有小”求极限(3)利用等价无有小代换求极限(4)利用洛必达法则求极酶加 x(ev-1)x2 1例 1 l im-=l im =1l n(l+x2)a。/(例
4、2 l im-二 hm 彳一二一。x ta n x 2。x 22例3 l im(工sin +sin2x)不存在X f co XY 2因为:l im x sin =l im x =2,l im sin 2x 不存在Y XT 00穷小与有界函数乘积是无穷小”性质)(1 Vl im 1+XT 0 2 X GO例 4 l im x sin =0(利用无 x 00 丫,3连续1)函数/(1)在点/连续的定义:l im/(x)=/(x0)go/在点 与连续 o l im+f(x)=l im f(x)=f(x0)X-X p X TS2)函数的间断点及其分类(1)点/为尤)的间断点(不连续点):若满足下述三条
5、中的任何一条:a)/(工)在点/没定义;b)l im/不存在;c)l im/(x)w/(x0).x-x0(2)间断点分类:第一类间断点:若l im*/(1)和l im/(l)均存在,称间断点/为/(X)的第一类间断点 X-Xq I p特别地,若l im/(x)存在,称间断点与为可去间断点。x-x0第二类间断点:不是第一类间断点的间断点。特别地,若l im/(x)=o o,称间断点/为无穷型间断点。x-x03)初等函数在其定义区间内是连续的。4)闭区间上连续函数的性质(1)有界性定理(2)最值定理(3)介值定理(4)零值点定理4m/、r+即 o x 1.要使/(%)在X=1处连续,则=?解:l
6、im f(x)=l im(-+)=2+,%1%1 X+1l im/(x)=l imk(x-1)+3=3,/(I)=2+,X-1+Xfl+2+q=3,x 4,例2/(、)=0,的连续区间是:(-00,0)U(0,+8)x 0 x 0例4%=0是4%)=:的何种类型间断点?ex+12角轧 l imi=-l,x-0-ex+l2 _2 ex-1 1-e x 1 l im;=l im-=Lx-0+-x-0+ex+1 l+e x.x=0封)的第一类间断点中的啰趺型间断点。例5方程r-sin%-1=0在下列区间中至少有一根的区间是:B(A)(8,0)(B)(0,乃)(C)(肛4)(D)(4,y)-单元函数微
7、分学1导数与微分1)导数的定义:f M=Km、)-/(/)=li mAXT。Ax XTO X-Xo尸(x)存在 o 草x)=(x)2)导数的几何意义:/(%)表示曲线/=/在点(/,/)处切线的斜率。3)可导与连续的关系:可导二连续,反之不一定成立巳寸巳寸求求S-r s rAn巳寸X=X=yX=V7-XyXn-rX巳寸求3求X/n=S-$AU-X/|1V7目求X为中=AU=XV7XFF可巳寸X求对边=X=为ffiMSMS的的rsiI占小4巳寸可类复-XF旦里=XO方5V/分=AZU/1!7445)4-F CL例1设/(%)=x+1+%0“1解:/(x)在l im(%-广x4=1处可导,/(x)
8、在x=l处连续,X+1+q)=l im 左(x 1)+3=/(I),即:2+q=3,则 q=l Xf1+又由/(X)在X=1处可导,则/W,/=l im4+1 _ 3“I=hm 2(1-刈(1)=W贝I左二一 1.x 左(1 1)+3 3x 1X-1(X-1)(%+1)=1,二k.例2由方程y二a rc ta n(x+y)所确定的隐函数y(x)的导数解:心 1+(工+,)2(1+得y二1(工+疔例3曲线L:S14在:土相应点处的切线方程为:Dy-c o s 2 4(A)2+y-3=0(B)-2勿+广2=0(C)2a/Tx-j-3=0(D)2瓜+,-2=0解:与 ,=2si n2/|.=-2,/
9、=?对应点为(W,0),at 丁 c o st/=丁 4 2切线方程:丁二-2a/T(x 即:2 JT x+y-2=0硼曲得,则L是c1 1(A)2dx(B)2dx(Q dx(p)dx例5谩f(x)在品=/o处可导,耳英)=2求l imAr-O/(%+淘一/(%Av)Av角的 出口)3+一/H N AQ/GJAv-O=W)=4Av2微分中值定理1)罗尔定理若/在上连续,在 则在(“M内至少存在一点2)拉格朗日中值定理若/(工)在,以上连络在(,6)内可导,且/()二/3),,使得:/(4)=0.(,6)内可导,则在(,6)内至少存在一点,使得:/睛)二b-a3)洛必达法则简略地讲,l im 幺
10、立二l img g 注意:仅适用于 土及巴型未定式,对于0,o o型,00-00型0 00以及0 ,1 00,00。型标式,必须先通过 变形化成-000型或一型未定式,再运用洛必00达法则。例1在下列函数中,在指定区间上满足拉格 朗日定理条件的是:D(A)/)二卜一1|(0 x 3)(B)/(x)-2+|x|(-1 x l)(C)/(0 x 1)(D)/(x)=4x3-5x2+x-2(0 xi Lx.I n x V.si n 2 xli m tan.y I n x li m li m:li m-例5 l im 朋、=l im e-二 e=自+、=小”二夕,“、二 e 二 1 10+o+3导致应
11、用1)函数的单调性与极值(1)极值嫌疑点:驻点(导数为零的点)及导数不存在的点。(2)单调区间的求法:极值嫌疑点将/的定义域分成若干子区 间,判断/在每个子区间的符号,若为正,则该子区间为单增区间 0否则,为单减区间。(3)极值点的求法:第一充分条件:若在极值嫌疑、。的两侧,/变号,则/为极值点。若由正变负,则工。为极大值点;若由负变正,则工。为极小值点。若在极值嫌疑点、。的两侧,广不变号,则工。不是极值点。该充分条件适用于所有 极值嫌疑点的判肌第二充分条件:若/(/)w 0,则/为极值点/(/)0,则仆为极小值点;若/(一)。+的垂直渐近线。4)闭区间,们上连续的函数/(X)的最值:求出色/
12、)内/(X)的所有极值嫌疑点,比 较极值嫌疑点及端点处 函数值的大小,其中最大者为函数的最 大值,最小者为函数的 最小值。5)弧微分曲线V=/(X)的弧微分:ds=J1+j/2 dx曲线(x 的弧微分:杰二,2+俨/y=例1下列命题正确的是:D(A)单调函数的导数必为单 调函数(B)设厂()为单调函数,则“X)也是单调函数(C)设/(、)在()内只有一个驻点 则/必为/(%)的极值点(D)设/*)在()内可导,且有一个极值 点x0,则/Vo)=0例2关于函数/二y%(io-%),正确的结论是:c(A)没有极值(C)只有一个极值,且是极大值(B)只有一个极值,且是极小值(D)有多于一个极值解::
13、,10-2xV%2(10-x)2极值嫌疑点:%!=0,x2=5,x3=10,X G(-00,0),/0;X G(0,5),尸0;x e(5,10),/x)0;x g(10,+c o),/(%)0;V TX e(-,0),0;I E(0,H 0;I E(),y”0,i:(-且2 2例4鲍尸-藕与水平渐近线x+x-2的繇教九 C(4)1 2(C)3(D)4解:y 二 _-_ 二 _-_x i x-2(x+2)(x-1)eA exlim-二 co,lim-二 oo,3-2 厂+i-2-r 41 x-+x-2:垂直渐近绦 工二-2,x=1.X X XH r e r e r e乂 lim-=hm-=hm
14、 =+a),14 w x-+x-2 位 2 工+1,4+*2elim-二 0,x x+x-2:水平渐近绦 尸0._ 1 y7_ _侈区 函9K)=a sira c+siif tvif e=w攵b t;iWL:/zK4(4)-2(B)2(Q|V3-V3角率 iTQc)=ac ojst+c o 3x;=Q BP d zc。器+c o sr=Q:a=2三单元函数积分学1不定积分1)不定积分的概念(1)原函数:若/(X)=/(X),则称一(%)为/(%)的一个原函数。(2)不定积分:/(X)的全体原函数称为/(X)的不定积分。j/(x)6/x=F(x)+C2)积分法(1)第一换元积分法(凑微分法)(2
15、)第二换兀积分法:x二(/)、f dx 二 j 山二尸+C 二/(夕一|(尤)+C其中,尸注意:三角换元的应用,a/x2+a2 dx,令x=a ta n f;j yja2-x2 dx,令尤二“sin/;j a/x2-a2dx,令不=“sec/.(3)分部积分法:w(x)t/v(x)=i/(x)v(x)-jv(x)6?w(x)注意:xnexdx-xndex,x c o s xdx-xnd sin x,J J J J/+1/+1xn In xdx-In xd-,xn a rc sin xdx-a rc sin xd-,J J +1 J n+1ec o sx d”两次分部积分解方程,两次要拿同样的函
16、数。例1下列公式中不正确的是:A(A)dI f(x)dx=f(x)d j f x)dx=df(x)(C)j/a粒=/+C(D)j#(x)=/(x)+C例2下列各式中正确的是:A(A)f ff(3-2x)dx=-f(3-2x)+C(B)j ff(3-2x)dx=-f(3-2x)+C(C)j ff(3-2x)dx=f(3-2x)+C(D)j ff(3-2x)dx=-f(3-2x)+C例 3 若/(sin 2 x)=ta n 2 x(0 x 1),则/(%)是:B(A)一1+C(0 x l)-l n(l-x)-x-C(0 x l)1-x(C)l n(l-x)-x+C(0 x 1)(D)-In x-x
17、+C(0 x 1)解:广融2%)二产工,即:/5=41-sm x 1-t/(/)二 j,d f=(一1+上)由二 +CJ It J 1 一例4设叱是/(、)的原函数,则 xj xf(x)d x是:A,1?(A)111忖-51n 2%+C(B)x In x-x+C(C)In x+C,In x、解:/(、)=i 一(D)l n x-x+C1-In x-2,X1-In xx1 2-dx=In x-In x+C2例5若泥、是/(x)的原函数,求jxf x)dx解:f(x)=(xexy=(1+x)ex9j xf x)dx=xf(x)-j/(x)dx-x(l+x)ex-xex C=x2ex+C2定积分、广
18、义积分1)定积分概念af(x)dxJ a呼。2小巧 1=1定积分的几何意义:当/(%)2 0时,表示由直线 x=轴,曲线丁=/(%)围成的曲边梯形的面积2)定积分的性质(1)线性性(2)对积分域的可加性a(3)dx-b-aJ a(4)若在/上,f(x)g(x),则gdx J a J aP b(5)若在,切上,加 S/S,则加(3-)S f(x)dx-ooJ。f(x)dx,cf(x)d x+J-X(2)无界函数的广义积分:设/(x)4(。山上连陵/人=F(x):;且 lim/(x)=oo,则:f(x)d x a+alim f(x)d x 4 o+J a+设/()在a,6)上连续,1 limX T
19、 b|/)在a,c)U(c,b 连续li r b r b-1)/(工)=*,则:f(x)d x:lim f(x)dx a 7 _ o+J aH 1 i m/(x)=co,仅当 f d x,f(xdx x-c a c均收敛时,该广义积分收敛,1 1/(x)d厂/(x)0工+7(工)心;a a c否则,该广义积分发散例1下列式中正确的是:B(A)若 j f(x)dx-0,则/(x)必为奇函数(B)1 exldx g(x)和直线x=a.x=b(a g(y)和直线V=c,y=d(c d)围成的图形的面积:S=1(y)-g(y)故J c(4)由曲线尸=r(。),射线。=a,9=/3(a 0)及直线y=0
20、,x=见1=6(0)及直线x=04=c,y=d(c g(x),x=6绕x轴旋转而成的旋转体P b体积:V=7Tf x)-gx)dxJ a3)平面曲线的弧长(1)直角坐标下:曲线y=/(x)(x(6)的弧长:s=J yl+yr2dx(2)参数方程下:曲线=9(0(云.)的弧长:s=+2(.例1求由曲线x=y2.y=-%和y=1围成的图形的面积。解:y2-(-yWy=-|例2由曲线y=,和直线=2X-1及X轴所围成的图形绕X轴旋转所生成的旋转体 体积是:D例)3(A)f f(C)X4dx-7T=571 71 713 2 5 6 30利用定积分的几何意义,/a2 4 dx(a。)的值为:Cjr jr
21、(A)0(B)-a2(C)-a2(D)荷2 4I 4f 1 o8P-i 1+0 P-I=夕(S03+KJ SO0-l4J-f I Of I8%(外。:-=*【*【避理即为因即回Z外o”二 d此外!s(=d圃米G防(0 f o/1州二/七口气 二邛”+(九 二S:押耳即(45,50)浦一。S 03-二 4四向量代数与空间解析几何1向量代数1)向量概念设 4(xl,yl,zl),S(X25J;2522),则 48 二、2 一,1,九 一 71522 Z,其方向余弦:co s a/一口*2 1)2+(%-乃+(Z2-Z jr,cos/?2/1_/)2+(%-乃)2+(Z2-zj ZTX2-XZ2-Z
22、 22)向量的运算a2那2(1)加减法:a i b=x1 士 工2 M 士 Z2)a,b 二a b cos6)=x1x2+y1y2+z1z 2,其中 J 为,旃夹角。(4)向量积:q x B如下定义:其模=sin(q,B);其方向垂直于见及且x B合右手法则。i j k-axb=X 为 句 2 y 2 Z3)两向量间的关系 -(1)a与b垂直 o a6=0 0 再9+升必+巳,二。(2)q与B平行 o q x 3=0 =了2 V 2 Z?-(3)与B的夹角:c o s6=a b例1设向量”3,5,-2二2,1,4,要使得向量+踵直于z轴,则2的值应等于:C(A)0(B)-2(C)2(D)1解:
23、ka b 32+2,52+1,-22+4),则(筋+:).1=0,即:-22+4=0,2=2.例2已知三点财(5,3,2)4(1,-4,6),尸(-3,7,1).下列结论正确的是:D(A)三点在一条直线上(B)三点构成非等腰三角形(C)三点构成等腰三角形(D)三点构成等腰直角三角形 解:7可二4,7,4,|/四二9;而二4,11,5,囚尸9;MP=一8,4,-1,|尸卜 9;2例3设向量a=2,4,41=0,6,3,则a与b的夹角为:a rc c o s、a/5刀 a-b 36 2角牛:COS(P 二|一|一|=-7=j=琲|6屈小例4设1为非零向量,下列命题中错误的是:D(A)1片存在实数九
24、 使二(B)a/b 2x b=Q 2 2(C)a-Lb a-b=0(D)J_ b o(+/)(-6)=-b例5设花】均为向量,下列等式中正确的是:A2 一 2(A)(a+b)-(a-b)=2(B)a(a-b)=a ba-b7 7(C)(a-b)2=a b(D)(a+b)x(a-b)=ax a-bx b2空间解析几何1)平面方程(1)点法式:平面过点。(2/。,句),法失、=4,瓦C,平面方程:/(%-%)+8(一%)+C(z-Z。)=0(2)一般式:/%+By+Cz+。=0(3)截距式:-+-=1 a b c2)两平面平行、垂直条件平面;T:/1%+Bxy+Cz+A=0,%:+B2y+C2z+
25、D2=0,-与和垂直 o 1 1 与 o,勺=0 o 44+BB2+CjC2=0_ 一 一 A B C与孙平行O/2 O=-=1 2 12 A2 B2 C23)1发方程标准式方程:x-x 0(3)4)两LLL5)iL过点M 0(工 0,0,o),方向+m 失It0 _ Z _ z o n二,m,参旦 里殷直与与xx式式的方程:方平/0Z 0+行、垂交式条L 2L 2与mn t1工+2 X+BB1+2y+C +D C 2Z+D=02=。ifom s;11o平行os II2o 平关系;*0J Qmz一 Z 0一,nLm m i20ji:A xX-X 2/2 _nO/1/,+“I I 2n 1+8y
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