初中数学解题-公式.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途初中数学竞赛辅导资料-公式 编辑:沈宇喆甲内容提要1 乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结,直接应用。公式中的每一个字母,一般可以表示数字、单项式、多项式,有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用(乘法展开),还可以由右到左逆用(因式分解),还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式,并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式:(ab)2=a22ab+b2,平方差公式:(a+b)(ab)=a2b2立方和(差)公式:(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推广: 多项式平方公式:(a+
2、b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即:多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 二项式定理:(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4)(ab)5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5)注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和(差)公式引伸的公式(a+b)(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系
3、数、符号的规律在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地:(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4. 公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推广可知:当n为正整数时anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能
4、被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。乙例题例1. 己知x+y=a xy=b 求x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5解:x2+y2(x+y)22xya22bx3+y3(x+y)33xy(x+y)a33abx4+y4(x+y)44xy(x2+y2)6x2y2a44a2b2b2x5+y5(x+y)(x4x3y+x2y2xy3+y4) =(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2 =aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2. 求证:四个連续整数的积加上1的和,一定是整数的平方。证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3(a为整数)a(
5、a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a是整数,整数的和、差、积、商也是整数a2+3a+1是整数证毕例3. 求证:22223111能被7整除证明:22223111(22)111311141113111根据a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4)41113111能被43整除22223111能被7整除例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数的计算规律 解:(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“个位数字
6、为5的两位数的平方数的特点是:幂的末两位数字是底数个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积.如:152=225 幂的百位上的数字2=12), 252=625 (6=23),352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45)丙练习151 填空:a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_2 填空:(x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4(x+y)( _)=x5+y5 (x
7、y)(_)=x5y53.计算:552= 652= 752= 852= 952=4. 计算下列各题 ,你发现什么规律1119= 2228= 3436= 4347= 7674=5.。已知x+=3, 求x2+ x3+ x4+的值6.化简:(a+b)2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7。己知a+b=1,求证:a3+b33ab=18。己知a2=a+1,求代数式a55a+2的值9。求证:2331能被9整除10。求证:两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直
8、径上,它们的直径分别是a,b,c 求证:三个小圆周长的和等于大圆的周长 求:大圆面积减去三个小圆面积和的差.练习154.十位上的数字相同,个位数的和为10的两个两位数相乘,其积的末两位数是两个个位数字的积,积的百位以上的数是,原十位上数字乘上比它大1的数的积8. n(n+1)+(n+1)=(n+1)29. 可证明3个小圆周长的和减去大圆周长,其差等于0(ab+ac+bc)初中数学竞赛辅导资料-二元一次方程的整数解甲内容提要1, 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果(a,b)c 则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质
9、时一定有整数解。例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。返过来也成立,方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解,(9,3)3,而3不能整除10;(4,2)2,而2不能整除1.一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。2, 二元一次方程整数解的求法:若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解解:x= (1) , 设是整数),则y=15k (2) ,把(2)代入(1)得x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是
10、(k是整数)方法二,公式法:设ax+by=c有整数解则通解是(x0,y0可用观察法)3, 求二元一次方程的正整数解: 出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值 用观察法直接写出.乙例题例1求方程5x9y=18整数解的能通解解x=设(k为整数),y=35k,代入得x=99k 原方程整数解是(k为整数) 又解:当x=o时,y=2,方程有一个整数解它的通解是(k为整数)从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的.例2,求方程5x+6y=100的正整数解解:x=(1), 设(k为整数),则y=5k,(2)把(2)代入(1)得x=20-6k,解不等式组得0k,k的整数解是1,2,3,正整数解是例3
11、,甲种书每本3元,乙种书每本5元,38元可买两种书各几本?解:设甲种书买x本,乙种书买y本,根据题意得3x+5y=38(x,y都是正整数)x1时,y=7,是一个整数解通解是(k为整数)解不等式组得解集是整数k=0,1,2把k=0,1,2代入通解,得原方程所有的正整数解答:甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。丙练习101, 求下列方程的整数解公式法:x+7y=4, 5x11y=3整除法:3x+10y=1, 11x+3y=42,求方程的正整数解:5x+7y=87,5x+3y=1103,一根长10000毫米的钢材,要截成两种不同规格的毛坯,甲种毛坯长300毫米,乙种毛坯长250毫米,有
12、几种截法可百分之百地利用钢材?4, 兄弟三人,老大20岁,老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97,求兄弟三人的岁数。5, 下列方程中没有整数解的是哪几个?答:(填编号) 4x2y=11, 10x5y=70, 9x+3y=111,18x9y=98, 91x-13y=169, 120x+121y=324.6, 一张试巻有20道选择题,选对每题得5分,选错每题反扣2分,不答得0分,小这军同学得48分,他最多得几分?7用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解:y=142x=练习101. 公式法由特解得通解(k为整数)由特解得通解(为k整数) 整除法x=-3y,通解是(k为整数)通解是(k为整数)2。
13、 3.有6种截法4。16,135.A,D。 6。127。(略)初中数学竞赛辅导资料-二元一次方程组解的讨论甲内容提要1 二元一次方程组的解的情况有以下三种: 当时,方程组有无数多解。(两个方程等效) 当时,方程组无解。(两个方程是矛盾的) 当(即a1b2a2b10)时,方程组有唯一的解:(这个解可用加减消元法求得)2 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3)乙例题例1.选择一组a,c值使方程组 有无数多解,
14、无解,有唯一的解解:当5a=12=7c时,方程组有无数多解解比例得a=10,c=14。 当5a127c时,方程组无解。解得a=10,c14。当5a12时,方程组有唯一的解,即当a10时,c不论取什么值,原方程组都有唯一的解.例2。a取什么值时,方程组 的解是正数?解:把a作为已知数,解这个方程组得解不等式组得解集是6答:当a的取值为6时,原方程组的解是正数.例3。m取何整数值时,方程组的解x和y都是整数?解:把m作为已知数,解方程组得x是整数,m8取8的约数1,2,4,8.y是整数,m8取2的约数1,2。取它们的公共部分,m81,2。解得m=9,7,10,6。经检验m=9,7,10,6时,方程
15、组的解都是整数。例4(古代问题)用100枚铜板买桃,李,榄橄共100粒,己知桃,李每粒分别是3,4枚铜板,而榄橄7粒1枚铜板。问桃,李,榄橄各买几粒?解:设桃,李,榄橄分别买x,y,z粒,依题意得由(1)得x= 100yz (3)把(3)代入(2),整理得y=200+3z 设(k为整数)得z=7k, y=200+20k, x=30027kx,y,z都是正整数解得(k是整数)10k1 3。 a=1 4。 5,3,1,1 5. 初中数学竞赛辅导资料-经验归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归
16、纳法,也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ,( 1 )3 1 ,( 1 )4 1 ,,归纳出 1 的奇次幂是 1,而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从10 到 99共 90 个( 9 10 ),三位数从 100 到 999 共900个(9102),四位数有91039000个(9103),归纳出n 位数共有910n-1(个) 由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验.由于观察
17、产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归纳法证明)乙例题例1 平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点?解:两条直线只有一个交点, 1 2第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得12 3 第4条直线和前3条直线都相交,增加了3个交点,得123 第5条直线和前4条直线都相交,增加了4个交点,得1234第n条直线和前n1条直线都相交,增加了n1个交点由此断定n 条直线两两相交,最多有交点123n1(个),这里n2,其和可表示为1+(n+1),即个交点。例2符号n!表示正整数从1到n的連乘积,读作n的阶乘。
18、例如5!12345。试比较3n与(n+1)!的大小(n 是正整数)解:当n 1时,3n3,(n1)!122当n 2时,3n9,(n1)!1236当n 3时,3n27,(n1)!123424当n 4时,3n81,(n1)!12345120当n 5时,3n243,(n1)!6!720猜想其结论是:当n1,2,3时,3n(n1)!,当n3时3n(n1)!。例3求适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解。分析:这2003个正整数的和正好与它们的积相等,要确定每一个正整数的值,我们采用经验归纳法从2个,3个,4个直到发现规律为止。解:x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x
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