基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案).pdf
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1、1基本不等式及其应用基本不等式及其应用 1基本不等式若 a0,,b0,则,当且仅当 时取“”ab2ab这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点:(1)各项或各因式均正;(一正)(一正)(2)和或积为定值;(二定)(二定)(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值(三相等)(三相等)2常用不等式(1)a2b2(a,bR)ab2(2)2abab 0,ba注:不等式 a2b22ab 和它们成立的条件不同,前者只要求2ba aba、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.其等价变形:ab()2.2ba(3)ab(a,bR)22b
2、a(4)2(a,b 同号且不为 0)baab(5)(a,bR).22baa2b22(6)baabbaba11222220,ba2(7)abc;a3b3c33,0a b c(8);abc33abc,0a b c 3利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值:a0,b0,当 ab 为定值时,ab,a2b2有 ,即ab ,a2b2 .(2)求最大值:a0,b0,当 ab 为定值时,ab 有最大值,即 ;或 a2b2为定值时,ab 有最大值(a0,b0),即 .设 a,bR,且 ab3,则 2a2b的最小值是()A.6 B.4C.2 D.2226解:因为 2a0,2b0,由基本不等式得2a2b22
3、4,当且仅当 ab 时取等号,故选 B.2a2b2ab232 若 a0,b0,且 a2b20,则 ab 的最大值为()A.B.1 C.2 D.412解:a0,b0,a2b2,a2b22,即 ab.当且仅当2ab12a1,b 时等号成立.故选 A.12 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab),其全程的平均时速为 v,则()A.av B.vabab3C.v D.vabab2ab2解:设甲、乙两地之间的距离为 s.ab,v.2ssasb2abab2ab2 abab又 vaa0,va.故选 A.2abababa2aba2a2ab()若实数 x,y 满足 xy1,则 x22y2的最小值为_
4、.2014上海解:由 xy1 得 x22y2x22,当且仅当 x时等号成立.故填2x22422.2 2 点(m,n)在直线 xy1 位于第一象限内的图象上运动,则log2mlog2n 的最大值是_.解:由条件知,m0,n0,mn1,所以 mn,(mn2)2 14当且仅当 mn 时取等号,12log2mlog2nlog2mnlog22,故填2.14类型一类型一利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值(1)求函数 y(x1)的值域.(x5)(x2)x1解:x1,x10,令 mx1,则 m0,且4ym 5259,当且仅当 m2 时取等号,故(m4)(m1)m4mm4mymin9.又当 m或 m0 时
5、,y,故原函数的值域是9,).(2)下列不等式一定成立的是()A.lglgx(x0)B.sinx2(xk,kZ)(x214)1sinxC.x212(xR)D.1(xR)|x|1x21解:A 中,x2 x(x0),当 x 时,x2 x.141214B 中,sinx2(sinx(0,1);1sinxsinx2(sinx1,0).1sinxC 中,x22|x|1(|x|1)20(xR).D 中,(0,1(xR).故 C 一定成立,故选 C.1x21点拨:这里(1)是形如 f(x)的最值问题,只要分母 xd0,都可以将ax2bxcxdf(x)转化为 f(x)a(xd)h(这里 ae0;若 ae0,可以
6、直接利用单调性exd等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件一正、二定、三相等,特别注意等号成立5条件要存在.(1)已知 t0,则函数 f(t)的最小值为 .t24t1t解:t0,f(t)t 42,t24t1t1t当且仅当 t1 时,f(t)min2,故填2.(2)已知 x0,y0,且 2x8yxy0,求:()xy 的最小值;()xy 的最小值.解:()由 2x8yxy0,得 1,又 x0,y0,8x2y则 1 2,得 xy64,8x2y8x2y8xy当且仅当 x4y,即 x16,y4 时等号成立.()解法一:由 2x8yxy0,得 x,x0,y2,8yy2则 x
7、yy(y2)1018,8yy216y2当且仅当 y2,即 y6,x12 时等号成立.16y2解法二:由 2x8yxy0,得 1,8x2y则 xy(xy)1010218,当且仅当(8x2y)2xy8yx2xy8yxy6,x12 时等号成立.6类型二类型二利用基本不等式求有关参数范围利用基本不等式求有关参数范围若关于 x 的不等式(1k2)xk44 的解集是 M,则对任意实常数k,总有()A.2M,0M B.2M,0MC.2M,0M D.2M,0M解法一:求出不等式的解集:(1k2)xk44x(k21)k44k212x22(当且仅当 k21 时取等5k21(k21)5k212 min55号).解法
8、二(代入法):将 x2,x0 分别代入不等式中,判断关于 k 的不等式解集是否为 R.故选 A.点拨:一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题:(1)af(x)恒成立af(x)max;(2)af(x)恒成立af(x)min;(3)af(x)有解af(x)min;(4)af(x)有解af(x)max.已知函数 f(x)exex,其中 e 是自然对数的底数.若关于 x 的不等式mf(x)exm1 在(0,)上恒成立,求实数 m 的取值范围.解:由条件知 m(ex
9、ex1)ex1 在(0,)上恒成立.令 tex(x0),则 t1,且 m 对任意t1t2t11t11t117t1 成立.t11213,1t1(t1)1t1,1t11t1113当且仅当 t2,即 xln2 时等号成立.故实数 m 的取值范围是.(,13类型三类型三利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为 360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元),修建此矩形场
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