2质点运动定律习题思考题.doc

习题2
2-1 质量为16kg的质点在平面内运动，受一恒力作用，力的分量为，，当时，，，。当时，求：
(1) 质点的位矢；
(2) 质点的速度。
解：由 ，有：，
（1），
。
于是质点在时的速度：
（2）

2-2 摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F= -kv2(k为正值常量)。设摩托快艇的质量为m，当摩托快艇发动机关闭后，求：
(1) 求速率v随时间t的变化规律；
(2) 求路程x随时间t的变化规律；
(3) 证明速度v与路程x之间的关系为，其中。
解：（1）由牛顿运动定律得：，分离变量有，
两边积分得：速率随时间变化的规律为；
（2）由位移和速度的积分关系：，
积分有：
∴路程随时间变化的规律为： ；
（3）由，，∴
积分有：。

2-3．质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：
又由牛顿第二定律可得：，则
分离变量，可得：，两边同时积分，有：，
所以：
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，则：
考虑到，，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移： 。

2-4．一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．
解：在绳子上距离转轴为r处取一小段微元绳子，假设其质量为dm，可知：，因为它做的是圆周运动，所以微元绳的所受合力提供向心力： 。
距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：。

2-5．已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数．设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。
解：由题意：，再由牛顿第二定律可得：，
考虑到，，可推出：
两边同时取积分，则：
有：

2-6．一质量为的质点，在平面上运动，受到外力 (SI)的作用，时，它的初速度为 (SI)，求时质点的速度及受到的法向力。
解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。
由：，有：，两边积分有：
，∴，
考虑到，，有
由于在自然坐标系中，，而（时），表明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，则利用，将代入有，∴。

2-7．如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？
解法一：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，且上限车板与箱底间为最大摩擦。
即：
可得：
解法二：设木箱不致于滑动的最大拉力为，列式有：

联立得：，
有：。

2-8．如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。
解法一：在斜面具有不同的加速度的时候，
木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：
（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：

可计算得到：此时的
（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：

可计算得到：此时的，所以：。

解法二：考虑物体m放在与斜面固连的非惯性系中，
将物体m受力沿和方向分解，如图示，同时
考虑非惯性力，隔离物块和斜面体，列出木块平衡式：
方向：
方向：
考虑到，有：，
解得：。
∴的取值范围：。

2-9 密度为ρ1的液体，上方悬一长为l，密度为ρ2的均质细棒AB，棒的B端刚好和液面接触。今剪断绳，并设棒只在重力和浮力作用下下沉，求：
(1) 棒刚好全部浸入液体时的速度；
(2) 若ρ2<ρ1/2，棒进入液体的最大深度；
(3) 棒下落过程中能达到的最大速度。
解：（1）由牛顿运动定律得：
，考虑到，，
分离变量，有：，
棒刚好全部浸入液体时，速度为，此时,
则两边积分，
得：，∴。
（2）由来看，棒可以全部浸入液体的条件为，
即：，假若有条件，则棒不能全部浸入液体；
若，设棒进入液体的最大深度为，由积分
可得：，考虑到棒在最大深度时速度为零，有：。
（3）由牛顿运动定律知，当时，，速度最大（设为）
有：，即，
由积分，有：
，∴。

2-10．圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？
解：取容器内稳定旋转液面某处一小块液体微元，受重力和支持力的作用，考虑剖面，受力分析如图示。列式： ①， ②
①/②有：，又由导数几何意义，有：
∴ ，积分有：
当 时 所以
，表明剖面上，形成液面的抛物线；
同理，在剖面上，可得：，稳定旋转时液面是一个抛物面，综上，在立体的三维坐标上，抛物面的方程为：。

2-11．质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，
劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，
求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。
解：利用隔离体方法，设方形物相对于劈形物
沿斜面下滑的加速度为，劈形物水平向左的加
速度为，分析受力有：
方形物受力：，，（惯性力）；
劈形物受力：，，，如图；
对于，有沿斜面平行和垂直的方程为：
①
②
对于，有：
③
将③代入有②：，
∴，代入①，有：
再将在水平和竖直两方向上分解，有：

∴
而相互作用力：

2-12．一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为，求：小环平衡时距杆端点的距离。
解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕
Z轴的圆周运动，所以可列式：

所以，可得：。

2-13．设质量为的带电微粒受到沿方向的电力，计算粒子在任一时刻的速度和位置，假定时，，。其中，为与时间无关的常数，，，，的单位分别为，，，。
解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：，，
整理可得二阶微分方程：，
下面分c为正负做讨论：令
（1）当时，令，方程为：，
可以写成：
【考虑到高等数学中，对于，其通解为：】
可得：，即：
再对上式求一次导，得到：，
由初始条件：时，，，可知：，，
∴有，；
（2）当时，令，方程为：，
可以写成：
【考虑到高等数学中，对于，其通解为：】
可得：，即：
再对上式求一次导，得到：，
由初始条件：时，，，可知：，
∴有，；

2-14．在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。
解：利用自然坐标系，法向：，而：
切向：，则：
，得：

2-15 设飞机降落时的着地速度大小，方向与地面平行，飞机与地面间的摩擦系数，如果飞机受到的迎面空气阻力与速率平方成正比为Kx v2，升力为Ky v2 (Kx和Ky均为常量)，已知飞机的升阻比为，求从着地到停止这段时间所滑行的距离（设飞机刚着地时对地面无压力）。
解：（1）由牛顿运动定律，考虑到飞机刚着地时对地面无压力，有：
则，又∵，
∴有：，即：
积分有：

∴路程为： 。

思考题
2-1．质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为a，当a逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？
解：以小球为研究对象，设墙壁对小球的压力为N1，
方向水平向右，木板对小球的压力为N2，方向垂直于
木板，小球受重力为mg，建立平衡方程：
，
所以当增大，小球对木板的压力N2将减小；
小球对墙壁的压力也减小。

2-2．质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少 ？
解：由于系统在拉力F作用下做匀速运动，
对A进行受力分析，知：，
对B进行受力分析，知：
突然撤消拉力时，对A有：，所以，
对B有：，所以。

2-3．如图所示，用一斜向上的力 (与水平成30°角)，将一重为的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数m的大小为多少？
解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：

整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明： 即：（此式中F无论为多大，总成立），则可得：。

2-4．质量分别为和的滑块和，叠放在光滑水平桌面上，如图所示．、间静摩擦系数为，滑动摩擦系数为，系统原处于静止．今有一水平力作用于上，要使、不发生相对滑动，则应取什么范围？
解：根据题意，分别对，进行受力分析，要使，不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：

解得：，
∴ 。

2-5．如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？
解：分别对A，B进行受力分析，可知：

则可计算得到： 。

2-6．如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？
(A) 它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。
(B) 它的速率均匀增加。
(C) 它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。
(D) 它的合外力大小不变。
(E) 轨道支持力的大小不断增加。
解：在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；
速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀，B的说法不对；
外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。
下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，
则E的说法正确。

2-7．一小珠可在半径为的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？
解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，
其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处
圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：

所以，可得：， 。

2-8．几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
(A) 60° (B) 45°

(C) 30° (D) 15°
解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，
可列式：
，
，
∴当θ=45°时，时间最短。

2-9．如图所示，小球A用轻弹簧与轻绳系住；小球B用轻绳与系住，今剪断绳和绳，在刚剪断的瞬间，、球的加速度量值和方向是否相同？
解：不同。
对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T，所以：

所以加速度大小为：，方向为水平方向。
对于b图，在剪断绳子的瞬间，绳子拉力F变化，它将提供物体做圆周运动，其加速度应该有切向加速度和法向加速度。所以：
切向： ，法向：，，考虑到此时，有：，所以此时加速度大小为：，方向为与绳垂直的切线方向。

2-10．两质量均为的小球穿在一光滑圆环上，并由一轻绳相连，环竖直固定放置，在图中位置由静止释放，试问释放瞬间绳上张力为多少？
解：在释放瞬间上面的小球作水平运动，下面小球作竖直运动，两者加速度大小相等，方向互相垂直。
上面小球： （1）
下面小球： （2）
两式联立消去，

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