专题二:平行四边形常用辅助线的作法(精排版).pdf
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1、 1专题讲义专题讲义 平行四边形平行四边形+几何辅助线的作法几何辅助线的作法一、知识点一、知识点1 1四边形的内角和与外角和定理:四边形的内角和与外角和定理:(1 1)四边形的内角和等于)四边形的内角和等于 360360;(2 2)四边形的外角和等于)四边形的外角和等于 360.360.2 2多边形的内角和与外角和定理:多边形的内角和与外角和定理:(1 1)n n 边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)180(n-2)180;(2 2)任意多边形的外角和等于)任意多边形的外角和等于 360.360.3 3平行四边形的性质:平行四边形的性质:四边形四边形 ABCDABCD 是平行四边形是平行
2、四边形 .54321)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等;()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;(4 4、平行四边形判定方法的选择、平行四边形判定方法的选择5 5、和平行四边形有关的辅助线作法、和平行四边形有关的辅助线作法(1 1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例例 1 1、如图,已知点、如图,已知点 O O 是平行四边形是平行四边形 ABCDABCD 的对角线的对角线 ACAC 的中点,四边形的中点,四边形 OCDEOCDE 是平行四边是平行四边形形.求证求证:OEOE 与与 ADAD 互相平分互相平分.ABCD1234ABCD
3、ABDOC性质判定说明:当已知条件中涉及到平行,且要说明:当已知条件中涉及到平行,且要求证的结论中和平行四边形的性质有关,求证的结论中和平行四边形的性质有关,可试通过添加辅助线构造平行四边形可试通过添加辅助线构造平行四边形.2(2 2)利用两组对边平行构造平行四边形)利用两组对边平行构造平行四边形例例 2 2、如图,在、如图,在ABCABC 中,中,E E、F F 为为 ABAB 上两点,上两点,AE=BFAE=BF,ED/ACED/AC,FG/ACFG/AC 交交 BCBC 分别为分别为 D D,G.G.求证求证:ED+FG=AC.ED+FG=AC.(3 3)利用对角线互相平分构造平行四边形
4、)利用对角线互相平分构造平行四边形例例 3 3、如图,已知、如图,已知 ADAD 是是ABCABC 的中线,的中线,BEBE 交交 ACAC 于于 E E,交,交 ADAD 于于 F F,且,且 AE=EF.AE=EF.求证求证 BF=AC.BF=AC.说明:当图形中涉及到一组对边说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行,得到平行四边形一组对边平行,得到平行四边形解决问题解决问题.说明:本题通过利用对角线互相平分构造平说明:本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上是采用了平移法构造平行行四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边形四
5、边形.当已知中点或中线应思考这种方法当已知中点或中线应思考这种方法.3(4 4)连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。)连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。例例 4 4、如图,在平行四边形、如图,在平行四边形中,点中,点在对角线在对角线上,且上,且,请你以请你以为为ABCDFE,ACCFAE F一个端点,一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)段相等(只需证明一条线段即可)(5 5)平移对角线,把平行四边形转化为梯形。)平移对角线,把
6、平行四边形转化为梯形。例例 5 5、如右图、如右图 2 2,在平行四边形,在平行四边形中,对角线中,对角线和和相交于点相交于点 O O,如果,如果,ABCDACBD12AC ,那么,那么的取值范围是(的取值范围是()10BDmAB m A A、B B、111 m222 m C C、D D、1210 m65 m(6 6)过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。)过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例例 6 6、已知:如图,四边形、已知:如图,四边形为平行四边形为平行四边形ABCD 求证:求证:222222DACDBCABBDAC图 2图 1
7、OOECCABDABDEF图 2图 1OOECCABDABDEF321图 4图 3KPFEDCFEDABCBA 4(7 7)延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。)延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。例例 7 7、已知:如右上图、已知:如右上图 4 4,在正方形,在正方形中,中,分别是分别是、的中点,的中点,与与交交ABCDFE,CDDABECF于于点,求证:点,求证:PABAP 2 2、课堂练习:课堂练习:1 1、如图,、如图,是平行四边形是平行四边形的边的边的中点,的中点,与与相交于点相交于点,若平行四边形,若平行四边形EABCDABACDEFABCD的面积为的面
8、积为,则图中面积为,则图中面积为的三角形有(的三角形有()SS21A A1 1 个个 B B2 2 个个 C C3 3 个个 D D4 4 个个 2 2、顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个、顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个 _四边形四边形3、如图,如图,AD,BC 垂直相交于点垂直相交于点 O,ABCD,BC=8,AD=6,则则 AB+CD 的长的长=_。4 4、已知等边三角形、已知等边三角形 ABCABC 的边长为的边长为 a a,P P 是是ABCABC 内一点,内一点,PDABPDAB,PEBCPEBC,PFPF ACAC,点,点D D、E E、F F 分别在分别在 B
9、CBC、ACAC、ABAB 上,猜想:上,猜想:PDPDPE+PF=_PE+PF=_,并证明,并证明你的猜想你的猜想321图 4图 3KPFEDCFEDABCBA 55 5、平行四边形、平行四边形ABCDABCD中,中,分别是四条边上的点,且分别是四条边上的点,且,HFGE,DHBCCFAE ,试说明:试说明:与与相互平分相互平分EFGH6 6、如图,平行四边形、如图,平行四边形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD交于交于O O,E E、F F分别为分别为OBOB、ODOD的中点,过的中点,过O O任作一直线分任作一直线分 别交别交ABAB、CDCD于于G G、H H 试说明:
10、试说明:GFGFEHEH7 7、如图,已知、如图,已知,B B 是是ADAD的中点,的中点,E E 是是ABAB的中点的中点ACAB 试说明:试说明:CECD2 8 8、如图,、如图,E E 是梯形是梯形ABCDABCD腰腰DCDC的中点的中点试说明:试说明:ABCDABESS梯梯形形21 BDE 69 9、已知六边形、已知六边形 ABCDEFABCDEF 的的 6 6 个内角均为个内角均为 120120,CDCD2cm2cm,BCBC8cm8cm,ABAB8cm8cm,AF=5cmAF=5cm,试求此六边形的周长试求此六边形的周长1010、已知、已知是等腰三角形,是等腰三角形,AB=ACAB
11、=AC,D D 是是 BCBC 边上的任一点,且边上的任一点,且ABC,ABDE ,垂足分别为,垂足分别为 E E、F F、H H,ABCHACDF ,求求 证:证:CHDFDE 1111、已知:在已知:在中,中,;在;在中,中,;连结;连结,取,取的中的中ABCRt BCAB ADERt DEAD ECEC点点,M 连结连结和和DMBM(1 1)若点)若点在边在边上,点上,点在边在边上且与点上且与点不重合,如图不重合,如图,DACEABB求证:求证:且且;DMBM DMBM (2 2)如果将图)如果将图 8-8-中的中的绕点绕点逆时针旋转小于逆时针旋转小于 4545的角,如图的角,如图,那么
12、(,那么(1 1)ADE A中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明 7 M D B A C E 答案:答案:例例 4、连结连结 BFDEBF 证明:连结证明:连结,设设交于点交于点 O DFDB,ACDB,四边形四边形为平行四边形为平行四边形 ABCDOBDOOCAO ,即即FCAE FCOCAEAOOFOE 四边形四边形为平行四边形为平行四边形 EBFDDEBF 例例 5、解:将线段、解:将线段沿沿方向平移,使得方向平移,使得,则有四边形则有四边形为平行为平行DBDCCEDB BEDC CDBE四边形四
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