高中文科数学立体几何知识点总结(2).pdf
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1、 1/11mll立体几何知识点整理(文科)一一直线和平面的三种位置关系:直线和平面的三种位置关系:1.线面平行 l符号表示:2.线面相交 Al符号表示:3.线在面内l符号表示:二二平行关系:平行关系:1.线线平行:方法一:用线面平行实现。mlmll/方法二:用面面平行实现。mlml/方法三:用线面垂直实现。若,则。ml,ml/方法四:用向量方法:若向量 和向量共线且 l、m 不重合,则lm。ml/2.线面平行:方法一:用线线平行实现。/llmml方法二:用面面平行实现。/ll方法三:用平面法向量实现。若为平面的一个法向量,n且,则。ln l/l3.面面平行:方法一:用线线平行实现。/,/、ml
2、mlmmll方法二:用线面平行实现。/,/、mlmlmlnlmllmmllm 2/11三垂直关系:1.线面垂直:方法一:用线线垂直实现。lABACAABACABlACl,方法二:用面面垂直实现。llmlm,2.面面垂直:方法一:用线面垂直实现。ll方法二:计算所成二面角为直角。3.线线垂直:方法一:用线面垂直实现。mlml方法二:三垂线定理及其逆定理。POlOAlPAl 方法三:用向量方法:若向量 和向量的数量积为 0,则。lmml 三三夹角问题。夹角问题。(一)异面直线所成的角:(1)范围:90,0(2)求法:方法一:定义法。步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。步骤 2:解三角形求出角。(
3、常用到余弦定理)余弦定理:abcba2cos222(计算结果可能是其补角)方法二:向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角):ACABACABcos(二)线面角(1)定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外),作 PO于 O,连结 AO,则 AO 为斜线 PA 在面内的射影,(图中)为直线 l 与面所成的PAO角。ABCllmlmlcbaABCnAOPlAOP 3/11AOP(2)范围:90,0当时,或 0l/l当时,90l(3)求法:方法一:定义法。步骤 1:作出线面角,并证明。步骤 2:解三角形,求出线面角。(三)二面角及其平面角(1)定义:在棱 l 上取一点 P,两个半平面内分别作
4、l 的垂线(射线)m、n,则射线 m 和 n 的夹角为二面角l的平面角。nml P(2)范围:180,0(3)求法:方法一:定义法。步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。方法二:截面法。步骤 1:如图,若平面 POA 同时垂直于平面,则交线(射线)AP 和 AO 的夹角就是二面、角。步骤 2:解三角形,求出二面角。AOP方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补)。n1n2步骤一:计算121212cosn nn nnn 步骤二:判断与的关系,可能相等或12n n 者互补。四四距离问题。距离问题。1点面距。方法一:几何法。OAP 步骤 1:过点
5、 P 作 PO于 O,线段 PO 即为所求。步骤 2:计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等体积法和等面积法;换点法)2线面距、面面距均可转化为点面距。3异面直线之间的距离方法一:转化为线面距离。nm如图,m 和 n 为两条异面直线,且n,则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为/m 4/11直线 m 与平面之间的距离。方法二:直接计算公垂线段的长度。方法三:公式法。dcba mDCBAmn如图,AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段,则异面直线 m 和 n 之间的距离为:/mmcos2222abbacd五五空间向量空间向量(一)空间向量基本定理若向量为空间中不共面的三个向量,则对空间
6、中任意一个向量,都存在唯一的有序实数对cba,p,使得。zyx、czbyaxp(二)三点共线,四点共面问题1.A,B,C 三点共线,且OAxOByOC 1xy当时,A 是线段 BC 的 21 yxA,B,C 三点共线ACAB2.A,B,C,D 四点共面,且OAxOByOCzOD 1xyz当时,A 是BCD 的 13xyzA,B,C,D 四点共面ADyACxAB(三)空间向量的坐标运算1.已知空间中 A、B 两点的坐标分别为:,则:111(,)A x y z222(,)B xyz ;AB BAd,AB ABCD1A1C1B 5/112.若空间中的向量,111(,)ax y z),(222zyxb
7、 则 abab a b cosa b 六常见几何体的特征及运算(一)长方体1.长方体的对角线相等且互相平分。2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为,则、222coscoscos+若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为,则、222coscoscos+3.若长方体的长宽高分别为 a、b、c,则体对角线长为 ,表面积为 ,体积为 。(二)正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。(三)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体:每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)(五)棱锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似,且
8、面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。(六)体积:、V、V(七)球1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为 R,小圆的半径为 r,小圆圆心为 O1,球心 O 到小圆的距离为 d,则它们三者之间的数量关系是 。3.球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式:体积公式:6/11高考题典例高考题典例考点考点 1 点到平面的距离点到平面的距离例 1 如图,正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2,D为1CC中点()求证:1AB 平面1ABD;()求二面角1AADB的大小;()求点C到
9、平面1ABD的距离解答过程解答过程()取BC中点O,连结AOABC为正三角形,AOBC正三棱柱111ABCABC中,平面ABC平面11BCC B,AO平面11BCC B连结1BO,在正方形11BBC C中,OD,分别为1BCCC,的中点,1BOBD,1ABBD在正方形11ABB A中,11ABAB,1AB平面1ABD()设1AB与1AB交于点G,在平面1ABD中,作1GFAD于F,连结AF,由()得1AB 平面1ABD 1AFAD,AFG为二面角1AADB的平面角在1AAD中,由等面积法可求得4 55AF,又1122AGAB,210sin44 55AGAFGAF所以二面角1AADB的大小为10
10、arcsin4()1ABD中,11152 26A BDBDADABS,1BCDS在正三棱柱中,1A到平面11BCC B的距离为3设点C到平面1ABD的距离为d由11ABCDCA BDVV,得111333BCDA BDSSdAA,1322BCDA BDSdS点C到平面1ABD的距离为22考点考点 2 异面直线的距离异面直线的距离ABCD1A1C1BOF 7/11例例 2 已知三棱锥ABCS,底面是边长为24的正三角形,棱SC的长为 2,且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点,求 CD 与 SE 间的距离.解答过程解答过程:如图所示,取 BD 的中点 F,连结 EF,SF,CF,EF为BCD的
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