大学数学第一章3-6节.ppt
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1、3 平面及其方程平面及其方程(一一一一)平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程1.法向量法向量:若一非零向量n垂直于一平面.则称向量n为平面 的法向量.注注:1 对平面,法向量n不唯一;2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.一、平面方程一、平面方程1编辑ppt2.平面的点法式方程平面的点法式方程设平面 过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量n=(A,B,C).对于平面上任一点M(x,y,z),向量M0M与n垂直.yxzM0MnOn M0 M=0而M0 M=(x x0,y y0,z z0),得:A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0称方程(1)为平面
2、的点法式方程.(1)2编辑ppt例例1:求过点(2,3,0)且以 n=(1,2,3)为法向量的平面的方程.解解:根据平面的点法式方程(1),可得平面方程为:1 (x 2)2 (y+3)+3 (z 0)=0即即:x 2y+3z 8=0 3编辑pptnM3M2M1解解:先找出该平面的法向量先找出该平面的法向量n.由于n与向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2=(3,4,6)M1M3=(2,3,1)可取n=M1M2 M1M3=14i+9j k例例2:求过三点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程为:14(x 2)+9(y+1)(z 4)=0即:
3、14x+9y z 15=0 4编辑pptM1M3M1M2,共面共面M1M,即即(二二二二)平面的三点式方程平面的三点式方程平面的三点式方程平面的三点式方程设平面设平面 过过不共线的三点不共线的三点M2(x 2,y 2,z 2),M3(x 3,y 3,z 3),M1(x 1,y 1,z 1),对于平面上任一点对于平面上任一点 M(x,y,z),平面的三点式方程平面的三点式方程.(2)5编辑ppt设平面与x,y,z 轴的交点依次为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三点oyPxzQR(三三三三)平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程平面的截距式方程则则有有得得当非零时(3
4、)6编辑ppt(四四四四)平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程1.定理定理1:任何任何x,y,z的一次方程的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都都表示平面表示平面,且此平面的一个法向量是且此平面的一个法向量是:n=(A,B,C)证证:A,B,C不能全为0,不妨设A 0,则方程可以化为它表示过定点 ,且 法向量为 n=(A,B,C)的平面.注注:一次方程:Ax+By+Cz+D=0 (4)称为平面的一般方程.7编辑ppt例例3:已知平面过点M0(1,2,3),且平行于平面2x 3y+4z 1=0,求其方程.解解:所求平面与已知平面有相同的法向量n=(2 3,4)2(x+1)3(
5、y 2)+4(z 3)=0即即:2x 3y+4z 4=08编辑ppt2.平面方程的几种特殊情形平面方程的几种特殊情形(1)过原点的平面方程过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:A x+B y+C z=0Ax+By+Cz+D=09编辑ppt(2)平行于坐标轴的方程平行于坐标轴的方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x 轴上的单位向量 i=(1,0,0)垂直,所以n i=A 1+B 0+C 0=A=0于是于是:平行于平行于x 轴轴的平面方程是 By+Cz+D=0;平行于平行于y 轴轴的平面方程是 Ax+Cz+D
6、=0;平行于平行于z 轴轴的平面方程是 Ax+By+D=0.特别特别:D=0时时,平面过坐标轴平面过坐标轴.10编辑ppt(3)平行于坐标面的平面方程平行于坐标面的平面方程平行于平行于xOy 面面的平面方程是 Cz+D=0;平行于平行于xOz 面面的平面方程是 By+D=0;平行于平行于yOz 面面的平面方程是 Ax+D=0.11编辑ppt例例4:求通过x 轴和点(4,3,1)的平面方程.解解:由于平面过x 轴,所以 A=D=0.设所求平面的方程是 By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3B C=0 C=3B所求平面方程为 By 3Bz=0即即:y 3z=0 12编辑ppt1n1n22
7、若已知两平面方程是:1:A1x+B1y+C1z+D1=0法向量 n1=(A1,B1,C1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0法向量 n2=(A2,B2,C2)1.定义定义1两两平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角(通通常常指指锐锐角角)称为称为两平面的夹角两平面的夹角.二、两平面的夹角二、两平面的夹角13编辑ppt所以1n1n2214编辑ppt平面1与2 相互平行规规定定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.平面1与2 相互垂直 A1A2+B1B2+C1C2=02.15编辑ppt例例5:一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,1),且垂直于平面 x+y+z=0,求它的方程.解
8、解:设所求平面的一个法向量 n=(A,B,C)已知平面 x+y+z=0的法向量 n1=(1,1,1)所以:n M1M2 且n n1 而 M1M2=(1,0,2)于是:A (1)+B 0+C (2)=0 A 1+B 1+C 1=016编辑ppt 设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点,求 P0到这平面的距离d.在平面上任取一点P1(x1,y1,z1)P0P1Nn则 P1P0=(x0 x1,y0 y1,z0 z1)过P0点作一法向量 n=(A,B,C)于是:三、点到平面的距离三、点到平面的距离17编辑ppt又 A(x0 x1)+B(y0 y1)+C(z0 z1)=Ax0
9、+By0+Cz0+D(Ax1+By1+C z1+D)=Ax0+By0+Cz0+D所以,得点P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离:(5)18编辑ppt例例6 6:求点 A(1,2,1)到平面:x+2y+2z 10=0的距离19编辑ppt解得:B=CA=2C取C=1,得平面的一个法向量n=(2,1,1)所以,所求平面方程是2 (x 1)+1 (y 1)+1 (z 1)=0即:2x y z=0M1(1,1,1),M2(0,1,1)20编辑ppt(一一一一)空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程空间直线的一般方程已知平面1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z
10、+D2=0那末,交线L上的任何点的坐标满足:A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0不在交线L上的点不满足方程组(1)(1)称方程组(1)空间直线的一般方程.xyzO12L4 空间直线空间直线及其方程及其方程一一一一.空间直线的方程空间直线的方程空间直线的方程空间直线的方程空间直线可看成是两个不平行平面 与 的交线1221编辑ppt(二二二二)空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程而而s 的坐标的坐标 m,n,p 称为直线称为直线L的一组的一组方向数方向数.sL1.定义定义1与空间直线与空间直线L平行的向量平行的向量 s=(m,
11、n,p),称为该直线的称为该直线的方向向量方向向量.22编辑ppt2.直线的对称式方程直线的对称式方程已知直线已知直线L过过M0(x0,y0,z0)点点方向向量方向向量 s=(m,n,p)在在L上任取一点上任取一点M(x,y,z),有有M0 M/s.而而M0 M=(x x0,y y0,z z0)所以得比例式所以得比例式(2)称为空间直线的称为空间直线的对称式方程或点向式方程对称式方程或点向式方程.sM0LM23编辑ppt得得:x=x0+m ty=y0+n tz=z0+p t称为空间直线的称为空间直线的参数方程参数方程.(3)(三三三三)空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程空间直线的参数式方
12、程空间直线的参数式方程24编辑ppt例例1:写出直线写出直线x+y+z+1=02x y+3z+4=0的对称式方程的对称式方程.解解:(1)先找出直线上的一点先找出直线上的一点 M0(x0,y0,z0)令令 z0=0,代入方程组代入方程组,得得x+y+1=02x y+4=0解得解得:所以所以,点点 在直线上在直线上.25编辑ppt(2)再找直线的再找直线的方向向量方向向量 s.由于平面由于平面 1:x+y+z+1=0的法线向量的法线向量 n1=(1,1,1)平面平面 2:2x y+3z+4=0的法线向量的法线向量 n2=(2,1,3)所以所以,可取可取=4i j 3k于是于是,得直线的对称式方程
13、得直线的对称式方程:26编辑ppt例例2:求通过点 A(2,3,4)与 B(4,1,3)的直线方程.所以,直线的对称式方程为解解:直线的方向向量可取 AB=(2,2,1)27编辑ppts1s2已知直线已知直线L1,L2的方程的方程s1=(m1,n1,p1)s2=(m2,n2,p2)定义定义2两两直直线线的的方方向向向向量量间间的的夹夹角角称称为为两两直直线线的的夹角夹角,常指常指锐角锐角.二二二二.两直线的夹角两直线的夹角两直线的夹角两直线的夹角28编辑ppt1.L1与与 L2的夹角的夹角 的余弦为的余弦为:2.L1垂直于垂直于 L2 m1 m2+n1 n2+p1 p2=03.L1平行于平行于
14、 L2 29编辑ppt解解:直线直线L1,L2的方向向量的方向向量 s1=(1,4,1)s2=(2,2,1)有有:所以所以:例例3:30编辑ppt当直线与平面垂直时当直线与平面垂直时,规定夹角规定夹角已知已知:直线的方向向量直线的方向向量 s=(m,n,p)平面的法向量平面的法向量 n=(A,B,C)那末那末,LLns称为称为L与平面与平面 的夹角的夹角.定义定义3直线直线L与它在平面与它在平面 上投影直线上投影直线L 的夹角的夹角,三三三三.直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角=sin 得31编辑ppt(1)L与与 的夹角的夹角 的正弦为的正弦为:sin 即即:A
15、m+Bn+Cp=0(2)L与与 垂直垂直 s/n(3)L与与 平行平行 s 与与 n垂直垂直32编辑ppt例例4.判定下列各组直线与平面的关系判定下列各组直线与平面的关系.解解:L的方向向量的方向向量 s=(2,7,3)的法向量的法向量 n=(4,2,2)s n=(2)4+(7)(2)+3 (2)=0又又M0(3,4,0)在直线在直线 L上上,但不满足平面方但不满足平面方程程,所以所以L与与 平行平行,但不重合但不重合.33编辑ppt解解:L的方向向量的方向向量 s=(3,2,7)的法向量的法向量 n=(6,4,14)L 与与 垂直垂直.34编辑ppt解解:L的方向向量的方向向量 s=(3,1
16、,4)的法向量的法向量 n=(1,1,1)s n=3 1+1 1+(4)1=0又又L上的点上的点 M0(2,2,3)满足平面方程满足平面方程,所以所以,L 与与 重重合合.35编辑ppt1.点到直线的距离例例5.求点p0(1,2,1)到直线 的距离d.p0slp1分析:分析:过 p0 作 l 的垂线,垂足为 p1,则 d=|p0 p1|关键:关键:求出 p1 的坐标方方法法:过点p0作平面与l垂直,设l与平面的交点为p1,则线段 p0 p1 与 l 垂直。p1即为垂足。四四四四.点到点到点到点到直线的距离及平面束方程直线的距离及平面束方程直线的距离及平面束方程直线的距离及平面束方程36编辑pp
17、tslp1解解:(1)直线 l 的方向向量 s=(2,1,1)过 p0(1,2,1),以s为法向量作平面:2(x1)+(y2)+(z1)=0即:2x+y+z 5=0(2)求 l 与 的交点将直线 l 方程写出参数方程形式:x=2+2ty=3+tz=4+t,代入平面的方程:2(2+2t)+(3+t)+(4+t)5=0即 6t+6=0,t=1,交点 p1(0,2,3)p0(1,2,1)37编辑ppt2.平面束方程平面束方程设直线 l:1:A1x+B1y+C1z+D1=0 (1)2:A2x+B2y+C2z+D2=0 (2)其中 A1,B1,C1与 A2,B2,C2不成比例,即1/2建立三元一次方程:
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