第三章--线性规划的对偶理论及灵敏度分析.doc
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1、第三章 线性规划的对偶理论及灵敏度分析 主要内容主要内容:1、对偶问题及其性质;2、对偶单纯形法;3、灵敏度分析。重点与难点重点与难点:对偶问题与原问题的对应关系,对偶问题的基本性质,对偶单纯形法的求解步骤,灵敏度分析的方法。要要 求求:理解线性规划对偶问题的性质,熟练掌握对偶单纯形法的求解步骤和灵敏度分析的方法和技巧,能够用这些数学方法解决实际问题。1 对偶问题的对称形式 一、对偶问题 引例,某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品,已知生产单位产品所需要的设备台时及 A、B 两种原材料的消耗,该工厂每生产一件产品甲可获利 2 元,每生产一件产品乙可获利 3 元,问应如何安排计划才能使该工厂
2、获利最多?甲 乙 设备 原材料 A 原材料 B 1 4 0 2 0 4 8 台时 16kg 12kg 解:设1x、2x分别为甲、乙两种产品的产量 则目标函数 2132maxxxz 约束条件 0,12416482212121xxxxxx (1)假设该工厂决定不再生产甲、乙产品,而将其出租或出售。这时要考虑每种资源的定价问题,设321,yyy分别为出租单位设备台时的租金和出让单位原材料 A、B 的附加额。作一比较:若用一个单位台时和 4 个单位原材料 A 生产一件产品甲,可获利 2 元,那么生产每件产品甲的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件甲产品的利润。即:2421 yy 同理,将生
3、产每件乙产品的设备台时和原材料出租和出让的收入应不低于生产一件乙产品的利润。即:34231 yy 将工厂所有设备台时和资源都出租和出让,其收入为 32112168yyy 对工厂来说,越大越好;但对接受者来说,支付的愈少愈好,所以工厂只能在满足所有产品的利润前提下,使其总收入尽可能小,才能实现其愿望。为此,得到如下模型:32112168minyyy 3,2,1,0342243121jyyyyyj (2)我们就称(2)为模型(1)的对偶问题。一般地,设原问题为 nnxcxcxcz2211max njxbxaxaxabxaxaxabxaxaxajmnmnmmnnnn,2,1,022112222212
4、111212111 则其对偶问题为:nnybybyb2211min miycyayayacyayayacyayayainmmnnnmmmm,2,1,022112222211211221111 矩阵形式:原问题 对偶问题 cXzmax Ybmin 0XbAX 0)(yCyACYATTT实际为 二、原问题与对偶问题的关系 原问题(或对偶问题)对偶问题(或原问题)目标函数 max z 目标函数 min 变 n 个 0 n 个 约 束 量 0 无约束 =条 件 约 束 条 件 m 个 =m 个 0 0 无约束 变 量 约束条件右端项 目标函数变量的系数 目标函数变量的系数 约束条件的右端项 例 1 求
5、下列问题的对偶问题 4321532minxxxxz 无约束43214324314321,0,0642253xxxxxxxxxxxxxx 解:321645maxyyy 无约束3213213213121,0,01523322yyyyyyyyyyyyy 2 2 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质 一、对称性一、对称性:对偶问题的对偶是原问题。证:设原问题为 cXzmax 0XbAX 则其对偶问题为:Ybmin 0yCYA 对上式两边取负号,得 Ybmin 0yCYA Ybw)max(min)max(0YCYA 上式的对偶问题为CXv)min(0XbAX (两边同取负号)zCXvvvmaxmaxma
6、x)min(0XbAX 二、弱二、弱 对 偶 性对 偶 性:若)0(X是 原 问 题 的 可 行 解,)0(Y是 对 偶 问 题 的 可 行 解,则 存 在bYcX)0()0(。证:)0(X是原问题的可行解 有bAX)0(已知)0(Y是对偶问题的可行解,用)0(Y左乘上式得bYAXY)0()0()0(同理cAY)0(,用)0(X右乘之得)0()0()0(CXAXY bYAXYCX)0()0()0()0(,故bYCX)0()0(三、无界性三、无界性:若原问题(对偶问题)为无界解,则其对偶问题(原问题)无可行解。注意:此性质不可逆。四、可行解是最优解时的性质最优性四、可行解是最优解时的性质最优性:
7、设)0(X是原问题的可行解,)0(Y是对偶问题的可行解,当bYCX)0()0(时,)0(X、)0(Y是最优解。五、对偶定理(强对偶性):五、对偶定理(强对偶性):若原问题有最优解,那么对偶问题也有最优解,且目标函数值相等。反之,若其一无最优解,则另一也无最优解。六、互补松弛性六、互补松弛性:若)0(X、)0(Y分别是原问题和对偶问题的可行解,那么0)0(sXY和0)0(XYS,当且仅当)0(X、)0(Y为最优解。证:设原问题和对偶问题的标准型是 CXzmax Ybmin 0,ssXXbXAX 0,ssYYCYYA 将ssXAXbYYAC,分别代入原问题和对偶问题目标函数得 sYYAXz,sYX
8、YAX 若0,0)0()0(ssXYXY;则)0()0()0()0(CXAXYbY 由性质 4 知,)0(X、)0(Y为最优解。又 如 果)0(X、)0(Y为 原 问 题 和 对 偶 问 题 的 最 优 解,由 性 质4有bYAXYCX)0()0()0()0(即ssXYAXYAXYXYAXY)0()0()0()0()0()0()0()0(必有0,0)0()0(ssXYXY 例 2 已知线性规划问题 21maxxxz 0,122321321321xxxxxxxxx 试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。证:原问题存在可行解,如TX)0,0,0(上述问题的对偶问题为 212minyy 0,01
9、1221212121yyyyyyyy 由第一个约束条件知,对偶问题无可行解,所以,由对偶定理知,原问题无最优解。七、对偶问题的经济解释七、对偶问题的经济解释-影子价格 由对偶定理可知,当达到最优解时,原问题和对偶问题的目标函数值相等,即有 mmbybybybYcXz)0(2)0(21)0(1)0()0(求 z 对 b 的偏导数得:)0(2)0(21)0(1mmbzybzybzy,即iibzy*其经济学意义是其经济学意义是:在其它条件不变的情况下,单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。iy的值代表对第 i 种资源的估价,这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格,称它为“影子价格
10、”。影子价格随具体情况而异,在完全市场经济条件下,当某种资源的市场价格低于影子价格时,企业应买进该资源用于扩大生产;而当某种资源的市场价格高于企业影子价格时,则企业应把已有的资源卖掉。可见,影子价格对市场有调节作用。3 对偶单纯形法 一、基本思路 对偶单纯形法是运用对偶原理求解原问题的一种方法,而不是求解对偶问题的单纯形法。首先讨论这样一个问题:设原问题:0,;maxXbAXcXz 则其对偶问题:0;minYcYAYb 化为标准型:0,;maxssXXbXAXcXz 0,;minssYYcYYAYb 设 B 是原问题的一个可行基,于是 A=(B|N),原问题可改写为:NNBBXCXCzmax
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