高二导数讲义.doc
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1、 导数【知识归纳】1、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f(x)或y|。即f(x)=。说明:(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:(1)求函数的增量=f(x+)f(x);(2)求平均变化率=;
2、(3)取极限,得导数f(x)=。2、导数的几何意义函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率是f(x)。相应地,切线方程为yy=f/(x)(xx)。3、几种常见函数的导数: ; ; ; .4、两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即: (法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:若C为常数,.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: 法则3:两个函数的商的
3、导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方:=(v0)。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解求导回代。法则:y|= y| u|5、单调区间:一般地,设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数;如果在某区间内恒有,则为常数;6、极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;7、最值:一般地,在区间a,b上连续的函数f在a,b上必有最大值与最小值。求函数在(a,b)内的极值;求函数在区间端点的值(a)、(b);将函数 的各极值与(a)、
4、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。【常见综合题方法导航】1、关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立;此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:第一步:令得到两个根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,常见处理方法有四种:第一种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-题型特征(已知谁的范围就把谁作为主元);第二种:分离变量求最值;第三种:关于二次函数的不等式恒成立;第四种:构造函数求最值-题型特征恒成立恒成立;2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题;(1)
5、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种:第一种:转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立,然后转为不等式恒成立问题;用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(看是否在0的同侧),如果是同侧则不必分类讨论;若在0的两侧,则必须分类讨论,要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀!有时分离变量解不出来,则必须用另外的方法;第二种:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;第三种:利用二次方程根的分布,着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置;特别说明:做题时一定要看清楚“在(a,b)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,
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