人教版八年级上册数学讲义.doc
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1、八年级数学讲义第11章 三角形一、 三角形得概念1 三角形得定义由不在同一直线上得三条线段首尾顺次连结所组成得图形叫做三角形要点:三条线段;不在同一直线上;首尾顺次相接2三角形得表示ABC中,边:AB,BC,AC 或 c,a,b顶点:A,B,C 内角:A ,B ,C二、 三角形得边1、 三角形得三边关系:(证明所有几何不等式得唯一方法)(1) 三角形任意两边之与大于第三边:b+ca(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形、1、2 确定三角形第三边得取值范围: 两边之差第三边AE,CE=ABAB+ACAE DE=ADAE=2AD AB+ACAE AB+AC2AD例2如图C
2、B,CD分别就是钝角AEC与锐角ABC得中线,且AC=AB求证:CE=2CD证明:延长CD至,使DF=CD,连接BF,在ADF与BDC中 AD=BDADF=BDCCD=DFADFBDCAF=BC,AFBC CAF+ACB=180, ACB=ABC,ABC+CBE=180CAF=CBE 又因为AC=BE,CAFCBECE=CF例3、 如图,在中,交于点,点就是中点,交得延长线于点,交于点,若,求证:为得角平分线证明:延长到点,使,连结在与中,而又,例4、如图,在中,就是边得中线,E就是AD上一点,且BEAC,延长BE交AC于点F求证:AFEF证明:延长AD到点G,使AD=DG,连结BG就是边得中
3、线 DC=DB在ADC与GDB中AD=DGADC=GDBDC=DBADCGDB (SSS)CAD=BGD BG=AC又BE=AC,BE=BGBED=GBED=AEF,AEF=CAD,即:AEF=FAE,AF=EF二 截长补短法截长:1、过某一点作长边得垂线2、在长边上截取一条与某一短边相同得线段,再证剩下得线段与另一短边相等。补短:1、延长短边2、通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例1、 如图,ABC中,ACB2B,12 求证:ABACCD证法一:(补短法) 延长AC至点F,使得AFAB 在ABD与AFD中 ABDAFD(SAS) BF ACB2B ACB2F 而ACBFFDC F
4、FDC CDCF 而AFACCF AFACCD ABACCD证法二:(截长法) 在AB上截取AEAC,连结DE 在AED与ACD中 AEDACD(SAS) 例2、 如图,在ABC中,AD为BC边上得高,B=2C、求证:CD=AB+BD、证明:在DC上截取DE=DB,连接AE,在ADB与ADE、中DE=DB,ADB=ADE,AD=ADADEADB(SAS) AE=AB,AEB=B, AEB=C+CAE,B=2C,ED=BD, AEB=2C、 C=CAE,故CE=AE=AB、 CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD、例3、如图,AD/BC,BE、AE分别就是ABC、BAD得平分线,点E在CD上,
5、求证:AB=AD+BC证明:在AB上截取AF=AD,连接EFAE平分BAD,1=2在FAE与DAE中,AF=AD1=2AE=AEFAEDAE AFE=D又 AD/BCC+D=180而 BFE+AFE= 180 C=BFE在BFE 与 BCE中C=BFE3=4,BE=BE BFE BCE BF=BC AD+BC=AB例4、如图,ABC中,ABAC,AD就是BAC得角平分线,P就是线段AD上任一点除A、D外得任意一点。求证:ABACPBPC证明:在AB就是截取AEAC在ACP与AEP中,有: ACAE (已知) EAPCAP (已知AD就是BAC角平分线) APAP (公共边) ACPAEP (S
6、AS) PCPE (全等三角形对应边相等) BEPBPE (三角形两边差小于第三边) BEPBPC (等量代换) BEABAEACAEBEPBPC ABACPBPC人教版八年级上册数学讲义三 与角平分线有关得辅助线角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上得点到角两边得距离相等。1 截取构造全等例1 如图1,在中,平分,求:得值ACBBDF(图2)CABDE(图1)解法1:在上截取使,连结,又,解法2:延长到,使,连结 FAD=CAD,AD=ADCADFAD(SAS)AC=AF又 AB+BF=AF BD=BF ABC=2F=2C2、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形例2 如
7、图3,在四边形中,平分求证:ABCDEF(图3)证明:过点作,交延长线于点,作,交于点平分,又,ABCDFE(图4例3 如图4,已知等腰三角形中,得平分线交于点,过点作得垂线交得延长线于点求证: 证明:延长交得延长线于点,就是得平分线, 就是等腰三角形 ,角平分线得性质1、角得平分线得性质角得平分线上得点到角得两边距离相等。ABCDEOP例1,如图,OC就是AOB得角平分线,点P就是OC上一点,PDOA于点D,PEOB于E,求证:PD=PE。证明:PDOA,PEOB(已知)ODP=OEP=900(垂直得定义)又OC平分AOB(已知)AOC=BOC(角得平分线定义)在RtDOP与RtEOP中Rt
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