2025年河北省张家口市高二数学第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2025年河北省张家口市高二数学第一学期期末达标测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）
A.2 B.5
C.1 D.0
2．已知函数在处取得极值，则（）
A. B.
C. D.
3．在中国共产党建党100周年之际,广安市某中学组织了“党史知识竞赛”活动,已知该校共有高中学生1000人,用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为25的样本参加活动,其中高二年级抽取了8人,则该校高二年级学生人数为()
A.960 B.720
C.640 D.320
4．如图，执行该程序框图，则输出的的值为（ ）

A. B.2
C. D.3
5．在三棱锥中，平面，，，，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（）
A. B.
C. D.
6．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm),那么该壶的容量约为（）

A.100 B.
C.300 D.400
7．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）

A. B.
C. D.
8．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.的单调减区间为
B.设，若对，使得成立，则
C.当时，
D.若方程有4个不等的实根，则
9．若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）
A.14 B.28
C.36 D.48
11．已知向量，若，则（）
A. B.5
C.4 D.
12．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．半径为的球的体积为_________
14．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为________.
15．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________
16．已知在四面体ABCD中，，，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程
18．（12分）如图，在三棱锥中，侧面PAB是边长为4的正三角形且与底面ABC垂直，点D，E，F，H分别是棱PA，AB，BC，PC的中点

（1）若点G在棱BC上，且BG＝3GC，求证：平面∥平面DHG；
（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值
19．（12分）如图四棱锥P - ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC = ∠DCB = ，CD = 2AB = 2BC = 2，△PDC是等边三角形.

（1）设面PAB面PDC = l，证明:l//平面ABCD；
（2）线段PC内是否存在一点E，使面ADE与面ABCD所成角的余弦值为，如果存在，求λ = 的值，如果不存在，请说明理由.
20．（12分）已知公差不为的等差数列的首项，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.
21．（12分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：

（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
22．（10分）已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.
【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，
由，可得，则切线的斜率为，
由，可得，则切线斜率为，
因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，
所以，解得或（舍去），
又由，即公共点的坐标为，
将点代入，可得.
故选：C.
2、B
【解析】根据极值点处导函数为零可求解.
【详解】因为，则，
由题意可知.经检验满足题意
故选：B
3、D
【解析】由分层抽样各层成比例计算即可
【详解】设高二年级学生人数为,则,解得
故选:D
4、B
【解析】根据程序流程图依次算出的值即可.
【详解】，
第一次执行，，
第二次执行，，
第三次执行，，
所以输出.
故选：B
5、C
【解析】由平面，直线与平面所成角的最大时，最小，也即最小，，由此可求得，从而得，得长，然后取外心，作，取H为的中点，使得，则易得，求出的长即为外接球半径，从而可得面积
【详解】三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，
如图所示；则，且的最大值是，
，的最小值是，
即A到的距离为，，，
在中可得，又，
，可得；
取的外接圆圆心为，作，
取H为的中点，使得，则易得，
由，解得，，
，，
由勾股定理得，
所以三棱锥的外接球的表面积是
.

【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是确定球的球心，三棱锥的外接球心在过各面外心且与此面垂直的直线上
6、B
【解析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出
【详解】设大圆锥的高为，所以，解得
故
故选：B
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题
7、B
【解析】利用古典概型的概率求解.
【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，
则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知
故选：B
8、B
【解析】函数，，，,，利用导数研究函数的单调性以及极值，画出图象
A.结合图象可判断出正误；
B.设函数的值域为，函数，的值域为．若对，，使得成立，可得．分别求出，，即可判断出正误
C.由函数在单调递减，可得函数在单调递增，由此即可判断出正误；
D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，由图象即可判断出正误；
【详解】函数，，，
，
可得函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增,
当时，，由此作出函数的大致图象，如图示：

A.由上述分析结合图象，可得A不正确
B.设函数的值域为，函数，的值域为
，对，，．，，
由，若对，，使得成立，
则，所以，因此B正确
C．由函数在单调递减，可得函数在单调递增，
因此当时，，即，因此C不正确；
D.方程有4个不等的实根，则，且时，有2个不等的实根，
结合图象可知，因此D不正确
故选：B
9、B
【解析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.
【详解】由双曲线的定义可得，结合可得
当点不为双曲线的顶点时，可得，即
当点为双曲线的顶点时，可得，即
所以，所以，所以
所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是
故选：B
10、D
【解析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.
【详解】因为为等差数列的前项和，
所以

故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.
11、B
【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】由于，所以.
故选：B
12、B
【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.
【详解】A：若，，则或a，故A错误；
B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；
C：若，，则或α与β相交，故C错误；
D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据球的体积公式求解
【详解】根据球的体积公式
【点睛】球的体积公式
14、
【解析】由题可得有两个不同正根，利用分离参数法得到.令，，只需和有两个交点，利用导数研究的单调性与极值，数形结合即得.
【详解】∵的定义域为，，
要使函数有两个极值点，
只需有两个不同正根，并且在的两侧的单调性相反，在的两侧的单调性相反，
由得，，
令，，要使函数有两个极值点，只需和有两个交点，
∵，令得：0<x<1；令得：x>1；
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；
作出和的图像如图，

所以，即，
即实数a的取值范围为.
故答案为：
15、
【解析】分析：应用换元法，令，，不等式恒成立，转化为在恒成立，确定关系式，即可求得答案.
详解：
函数对称轴，最小值
令，
则恒成立，即在上.
，
在单调递增，
，解得，即实数的取值范围是
故答案为.
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题、不等式恒成立问题以及二次函数的图象和性质等知识，考查了复合函数问题求解的换元法
16、24
【解析】由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求.
【详解】由题设，可得如下四面体示意图，

则，
又，，
所以.
故答案为：24

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），2 （2）
【解析】（1）结合，联立即得解；
（2）由题意，即得解.
【详解】（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
18、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）由中位线的性质可得、、，再由线面平行的判定可证平面PEF、平面PEF，最后根据面面平行的判定证明结论.
（2）应用勾股定理、等边三角形的性质、面面和线面垂直的性质可证、、两两垂直，构建空间直角坐标系，求面BPC、面PCA的法向量，再应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.
【小问1详解】
因为D，H分别是PA，PC的中点，所以
因为E，F分别是AB，BC的中点，所以，
综上，，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF
由题意，G是CF的中点，又H是PC的中点，
所以，又平面PEF，平面PEF，
所以平面PEF
由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG
【小问2详解】
在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，
所以，又，则
因为△PAB为等边三角形，点E为AB的中点，所以，
又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，
所以平面ABC，面ABC，故
综上，以E为坐标原点，以EB，EF，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

有，，，，则，，
设平面BPC的法向量为，则，令，则
设平面PCA的法向量为，则，令，则
所以．由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为
19、（1）证明见解析
（2）存在
【解析】（1）由已知可得∥，再由线面平行的判定可得∥平面，再由线面平行的性质可得∥，再由线面平行的判定可得结论，
（2）由已知条件可证得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【小问1详解】
证明：因为,
所以，所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为平面，且平面面，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
【小问2详解】
设的中点为，
因为△PDC是等边三角形，所以，
因为平面PDC⊥平面ABCD，且平面面，
所以平面，
因为平面，
所以，
所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，所以，
假设存在这样的点，由已知得，则，
所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，则
所以，
整理得，解得（舍去），或，
所以

20、（1）
（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于实数的等式，结合可求得的值，由此可得出数列的通项公式；
（2）利用裂项求和法求出，解不等式即可得出结果.
【小问1详解】
解：设等差数列公差为，则，
由题意可得，即，整理得，
，解得，故.
【小问2详解】
解：，
所以，，
由得，可得，
所以，满足成立的最大的正整数的值为.
21、（1）
（2）平均数为；中位数为.
【解析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.
（2）根据平均数和中位数的定义直接计算得到答案.
【小问1详解】
该居民收入在区间内的概率为：

【小问2详解】
居民月收入的平均数为：
.
第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，
设居民月收入的中位数为，则，解得.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题设可得且，结合椭圆参数关系求，即可得椭圆的方程；
（2）设直线为，联立抛物线整理成一元二次方程的形式，由求m的范围，再应用韦达定理及弦长公式求关于m的表达式，根据二次函数性质求最值即可.
小问1详解】
由题设，且，故，，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设直线为，联立椭圆并整理得：，
所以，可得，且，，
所以且，
故当时，.