上海市闵行区2025-2026学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

上海市闵行区2025-2026学年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在直三棱柱中，，，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为（）

A. B.
C. D.
2．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（）
A. B.
C. D.1
3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），问立夏日影长为（）
A.一尺五寸 B.二尺五寸
C.三尺五寸 D.四尺五寸
4．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　）
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
5．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2)=2, ，则f(x)＞x的解集是（ ）
A. B.
C. D.
6．中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数据，即“结绳计数”，如图，一位古人在从右到左（即从低位到高位）依次排列的红绳子上打结，满六进一，用6来记录每年进的钱数，由图可得，这位古人一年收入的钱数用十进制表示为（）

A.180 B.179
C.178 D.177
7．点到直线的距离是（）
A. B.
C. D.
8．圆与的公共弦长为（）
A. B.
C. D.
9．圆与直线的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
10．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2022的直线方程是（）
A. B.
C. D.
11．已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
12．执行下图所示的程序框图，则输出的值为（）

A.5 B.6
C.7 D.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知一组样本数据5、6、a、6、8的极差为5，若，则其方差为________.
14．已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______
15．已知直线和直线垂直，则实数___________.
16．已知数列满足，且，则______，数列的通项_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.
（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（12分）已知椭圆长轴长为4，A，B分别为左、右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，且点在椭圆上，其中e为椭圆的离心率

（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线AP与直线（m为常数）交于点Q，
①当时，设直线OQ的斜率为，直线BP的斜率为．求证：为定值；
②过Q与PB垂直的直线l是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由
19．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.
（1）求a，b的值
（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.
20．（12分）设函数.
（1）当k＝1时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最小值m和最大值M.
21．（12分）已知函数
（1）若，求曲线在处的切线方程
（2）讨论函数的单调性
22．（10分）双曲线 ，离心率 ，虚轴长为 2
（1）求双曲线的标准方程；
（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.
【详解】解：由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分別为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，则
令，得.
因为，所以，
故直线BC与平面所成角的正弦值为.
故选：D.

2、A
【解析】先表示出渐近线方程，设出点坐标，利用，解出点坐标，再按照面积公式求解即可.
【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为，不妨设在上，设，由得，
解得，的面积为.
故选：A.
3、D
【解析】结合等差数列知识求得正确答案.
【详解】设冬至日影长，公差为，则
，
所以立夏日影长丈，即四尺五寸.
故选：D
4、C
【解析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系
【详解】圆：的圆心为，半径，
圆：，即，圆心，半径，
两圆的圆心距，显然，即，
所以圆与圆相交.
故选：C
5、D
【解析】构造，结合已知有在R上递增且，原不等式等价于，利用单调性求解集.
【详解】令，由题设知：，即在R上递增，
又，所以f(x)＞x等价于，即.
故选：D
6、D
【解析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从
右到左的数分别为、、，然后把它们相加即可.
【详解】
（个）.
所以古人一年收入的钱数用十进制表示为个.
故选：D.
7、B
【解析】直接使用点到直线距离公式代入即可.
【详解】由点到直线距离公式得
故选：B
8、D
【解析】已知两圆方程，可先让两圆方程作差，得到其公共弦的方程，然后再计算圆心到直线的距离，再结合勾股定理即可完成弦长的求解.
【详解】已知圆，圆，
两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，
而圆心到直线的距离为，
圆的半径为，所以，所以.
故选：D.
9、B
【解析】用圆心到直线的距离与半径的大小判断
【详解】解：圆的圆心到直线的距离，等于圆的半径，
所以圆与直线相切，
故选：B
10、A
【解析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线斜截式方程进行求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角为45°，所以该直线的斜率为，又因为该直线在y轴上的截距为2022，所以该直线的方程为：，
故选：A
11、A
【解析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A
12、C
【解析】直接按照程序框图运行即可得正确答案.
【详解】当时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，不成立，
时，成立，输出的值为，
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】根据极差的定义可求得a的值，再根据方差公式可求得结果.
【详解】因为该组数据的极差为5，，
所以，解得.
因为，
所以该组数据的方差为
故答案为：.
14、2
【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.
【详解】解：由题得圆的圆心为，
双曲线的渐近线方程为，即.
所以圆心到双曲线渐近线的距离为.
故答案为：2
15、
【解析】根据两条直线相互垂直的条件列方程，解方程求得m的值.
【详解】由于两条直线垂直，故，解得.
故答案为：.
16、 ①. ②.
【解析】判断出是等差数列，由此求得，利用累加法求得.
【详解】依题意，
则，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，，
当时，，

，
也符合上式，
所以.
故答案为：；

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.
（2）利用集合间的关系求解即可.
【详解】实数满足不等式，即
命题实数满足不等式，即
（1）当时，命题，均为真命题，则且
则实数的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集
则且
解得
故的取值范围为.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
18、（1）
（2）①证明见解析；②直线过定点；
【解析】（1）依题意得到方程组，解得，即可求出椭圆方程；
（2）①由（1）可得，，设，，表示出直线的方程，即可求出点坐标，从而得到、，即可求出；
②在直线方程中令，即可得到的坐标，再求出直线的斜率，即可得到直线的方程，从而求出定点坐标；
【小问1详解】
解：依题意可得，即，解得或（舍去），所以，所以椭圆方程为
【小问2详解】
解：①由（1）可得，，设，，则直线的方程为，令则，所以，，所以，又点在椭圆上，所以，即，所以，即为定值；
②因为直线的方程为，令则，因为，所以，所以直线的方程为，即又，所以，令，解得，所以直线过定点；
19、（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝
【解析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，
（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.
【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，
由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，
则，
解可得a，b＝-1，
（2）由（1），
易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，
又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），
所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.
【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题
20、（1）增区间为
（2），
【解析】（1）求导，由判别式可判断导数符号，然后可得；
（2）求导，求导数零点，比较函数极值和端点函数值，结合单调性可得.
【小问1详解】
因为，所以，
，因为，所以恒成立
所以的增区间为.
【小问2详解】
当时，，
令，解得，
当时，，
当时，，
当时，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

因为，
所以在区间上的最大值，最小值为
21、（1）
（2）答案见解析
【解析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率，结合切点可得切线方程；
（2）求导后，分别在、和的情况下，根据的正负可得的单调性.
【小问1详解】
当时，，，
，又，
在处的切线方程为：，即；
【小问2详解】
，令，解得：，；
当时，，在上单调递增；
当时，若或，则；若，则；
在和上单调递增，在上单调递减；
当时，若或，则；若，则；
在和上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意求出即可得出；
（2）利用点差法求出直线斜率即可得出方程.
【小问1详解】
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
设以定点为中点的弦的端点坐标为，
可得，，
由在双曲线上，可得：，
两式相减可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为：

则以定点为中点的弦所在的直线方程为，即为，
联立方程得：，，符合，
∴直线的方程为：.