2025-2026学年辽宁师大附中高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年辽宁师大附中高二数学第一学期期末教学质量检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“，均有”的否定为（）
A.，均有 B.，使得
C.，使得 D.，均有
2．已知圆和椭圆．直线与圆交于、两点，与椭圆交于、两点．若时，的取值范围是，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
3．直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为
A.相切
B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心
D.相离
4．已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的x∈R，均有，则（ ）
A.e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)<f(0) B.e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)<f(0)
C.e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) D.e－2 021f(－2 021)<f(0)，e2 021f(2 021)>f(0)
5．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝4上的概率是(　　)
A. B.
C. D.
6．已知双曲线的右焦点为，渐近线为，，过的直线与垂直，且交于点，交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.
7．点到直线的距离为2，则的值为（ ）
A.0 B.
C.0或 D.0或
8．若直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆相切，则c的值为（ ）
A.8或-2 B.6或-4
C.4或-6 D.2或-8
9．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）.考虑以下结论：

①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；
②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；
③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；
④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
10．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为（）
A B.
C. D.4
11．已知、分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则（）
A. B.
C. D.与2的大小关系不确定
12．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为： 圆 圆 ，圆 若过原点的直线 与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（建三江）函数在处取得极小值，则=___
14．某天上午只排语文、数学、体育三节课，则体育不排在第一节课的概率为_________
15．在数列中，，，则数列中最大项的数值为
__________
16．命题“若，则”的逆否命题为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点
（1）求椭圆的方程
（2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由
18．（12分）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.
19．（12分）如图，在正方体中，为的中点，点在棱上

（1）若，证明：与平面不垂直；
（2）若平面，求平面与平面的夹角的余弦值
20．（12分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
21．（12分）已知圆台的上下底面半径分别为，母线长为．求：
（1）圆台的高；
（2）圆台的体积
注：圆台体积公式：，其中，S分别为上下底面面积，h为圆台的高
22．（10分）在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足
（1）求A的大小；
（2）若，的面积为，求的周长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】全称命题的否定是特称命题
【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以命题“，均有”的否定为
“，使得”
故选 ：C
2、C
【解析】由题设，根据圆与椭圆的对称性，假设在第一象限可得，结合已知有，进而求椭圆的离心率.
【详解】由题设，圆与椭圆的如下图示：

又时，的取值范围是，结合圆与椭圆的对称性，不妨假设在第一象限，
∴从0逐渐增大至无穷大时，，故，
∴
故选：C.
3、B
【解析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，同时判断圆心是否在直线上，即可得到正确答案
解：由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1
则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，
把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心
所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心
故选B
考点：直线与圆的位置关系
4、D
【解析】通过构造函数法，结合导数确定正确答案.
【详解】构造函数，
所以在上递增，
所以，
即.
故选：D
5、D
【解析】利用分布计数原理求出所有的基本事件个数，在求出点落在直线x+y=4上包含的基本事件个数，利用古典概型的概率个数求出.解：连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36，其中每个结果出现的机会都是等可能的，点P（m，n）在直线x+y=4上包含的结果有（1，3），（2，2），（3，1）共三个，所以点P（m，n）在直线x+y=4上的概率是3:36=1:12,故选D
考点：古典概型
点评:本题考查先判断出各个结果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，属于基础题
6、C
【解析】由题设易知是的中垂线，进而可得，结合双曲线参数关系及离心率公式求双曲线的离心率即可.
【详解】由题意，是的中垂线，故，

由对称性得，则，故，
∴.
故选：C.
7、C
【解析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.
【详解】解：点到直线的距离为，
解得或.
故选：C.
8、A
【解析】求出平移后的直线方程，再利用直线与圆相切并借助点到直线距离公式列式计算作答.
【详解】将直线先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为，
因直线与圆相切，从而得，即，解得或，
所以c的值为8或-2.
故选：A
9、B
【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可
【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，
标准差为
由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，
标准差为
则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，
乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，
故正确的是①④，
故选：B
10、B
【解析】由数量积的坐标运算求得，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案
【详解】解：根据题意可得，、，所以，令，
由约束条件作出可行域如下图所示，

由得，即，由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最小值为，即，所以
故选：B
11、A
【解析】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，由切线的性质可知：，，，结合椭圆的定义，即可得出结果.
【详解】由题意知，圆C是的旁切圆，点是圆C与轴的切点，
设圆C与直线的延长线、分别相切于点、，
则由切线的性质可知：，，，
所以，
所以，
所以.
故选A

【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记椭圆的定义，以及切线的性质即可，属于常考题型.
12、A
【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长
【详解】设过点的直线.由直线与圆 、圆 均相切，得 解得 (1).设点到直线的距离为 则 (2).又圆的半径直线截圆所得弦长 结合(1)(2)两式，解得

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由，令，解得或，且时，；时，；时，，所以当时，函数取得极小值
考点：导数在函数中的应用；极值的条件
14、
【解析】写出语文、数学、体育的所有可能排列，找出其中体育不排在第一节课的情况，利用概率公式计算即可.
【详解】所有可能结果如下：（语文，数学，体育）；（语文，体育，数学）；（数学，语文，体育）：（数学，体育，语文）；（体育，语文，数学）；（体育，数学，语文）,
其中体育不排在第一节课的情况有四种，
则体育不排在第一节课的概率
15、
【解析】用累加法求出通项，再由通项表达式确定最大项.
【详解】当时，

，所以数列中最大项的数值为
故答案为:
16、若，则
【解析】否定原命题条件和结论，并将条件与结论互换，即可写出逆否命题.
【详解】由逆否命题的定义知：原命题的逆否命题为“若，则”.
故答案为：若，则.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）存在；或.
【解析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；
（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.
【小问1详解】
设，因为直线的斜率为，，
所以，可得，
又因为，所以，所以，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
假设存在直线，使得的面积为，
当轴时，不合题意，
设，，直线的方程为，
联立 消去得：，
由可得或，
，，
所以

，
点到直线的距离，
所以，
整理可得：即，
所以或，所以或，
所以存在直线：或使得的面积为.
18、（1） （2）
【解析】设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.
试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，
所以，.
又
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设
由题意可设直线的方程为：，
联立消去得，
当，所以，即或时
.
所以

点到直线的距离
所以，
设，则，
，
当且仅当，即，
解得时取等号，
满足
所以的面积最大时直线的方程为：或.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.
【小问1详解】
证明：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，
由得点的坐标为，
，，因为，
所以与不垂直，所以与平面不垂直
【小问2详解】
解：设，则，，
因为平面，所以，所以，得，
且，即，
所以，，设平面的法向量为，
由，取，可得，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为
20、（1）
（2）
【解析】（1）设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，运用通项公式可得，，进而得到所求通项公式；
（2）求得，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和.
【小问1详解】
解：（1）设是公差为d的等差数列，
是公比为q的等比数列，
由，，可得，
；
即有，，
则，
则；
【小问2详解】
解：，
则数列的前n项和为
.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）作出圆台的直观图，过点A作，垂足为H，由勾股定理可求圆台的高；
（2）结合（1），利用圆台的体积公式可求圆台的体积
【详解】（1）作出圆台的直观图，如图，
设圆台上下底面圆心分别为，为圆台的一条母线，
连接，，过点A作，垂足为H，则的长等于圆台的高，
因为圆台的上下底面半径分别为，母线长为
所以，，
则，可得，
故圆台高为；
（2）圆的面积
圆的面积为
故圆台的体积为

22、（1）
（2）
【解析】（1）通过正弦定理将边化为角的关系，可得，进而可得结果；
（2）由面积公式得，结合余弦定理得，进而得结果.
【小问1详解】
∵
∴由正弦定理，得
∴
∵，∴，故
【小问2详解】
由（1）知，
∵
∴
∵由余弦定理知，
∴，
故
∴，故
∴的周长为