高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.1.2,弧度制,1/56,【,知识提炼,】,1.,度量角两种制度,角度制,定义,用_作为单位来度量角单位制,1度角,周角_为1度角，记作1,弧度制,定义,以_为单位来度量角单位制,1弧度,角,长度等于_弧所正确圆心角叫做1弧度角.1弧度记作1_,度,弧度,半径长,rad,2/56,2.,弧度数计算,正数,负数,0,3/56,3.,角度制与弧度制换算,4/56,4.,扇形弧长和面积公式,设扇形半径为,R,，弧长为,l,，,(02),为其圆心角，则,(1),弧长公式：,l,=_.,(2),扇形面积公式：,S=_=_.,R,5/56,【,即时小测,】,1.,判断,.,(1)1rad,角等于,1,度角,.(,),(2),每个弧度制角，都有唯一角度制角与之对应,.(,),(3),不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆半径长短相关,.(,),6/56,【,解析,】,(1),错误,.1 rad57.30,与,1,度角不相等,.,(2),正确,.,对于弧度数为,角有唯一角度数为,度角与之对应,.,(3),错误,.,用角度制或用弧度制度量角，均与圆半径长短无关,.,答案：,(1),(2),(3),7/56,2.,与,120,角终边相同角集合是,(,),A.|=k360+,，,kZ,B.|=2k+120,，,kZ,C.|=k180+120,，,kZ,D.|=2k+,，,kZ,【,解析,】,选,D.,与,120,角终边相同角：,=120+k,360,，,kZ,或,=,+2k,，,kZ.,8/56,3.,半径为,2,，圆心角为 扇形面积是,(,),【,解析,】,选,C.,由扇形面积公式可得，此扇形面积是,9/56,4,把以下各角从弧度化为角度,.,（,1,）,=_.,（,2,）,-=_.,【,解析,】,（,1,）,（,2,）,答案：,（,1,）,210,（,2,）,-240,10/56,5,把以下各角从角度化为弧度,.,（,1,）,315=_.,（,2,）,-75=_.,【,解析,】,（,1,）,315=,（,2,）,-75=,答案：,（,1,）,（,2,）,11/56,【,知识探究,】,知识点,1,角度制与弧度制,观察图形，回答以下问题：,12/56,问题,1,：角与实数能否一一对应？,问题,2,：比值 与所取圆半径大小是否相关？,13/56,【,总结提升,】,1.,角与实数对应,(1),角概念推广后，不论是用角度制还是用弧度制，都能在角集合与实数集,R,之间建立一个一一对应关系：即每一个角都有唯一一个实数,(,比如这个角度数或弧度数,),与它对应；反过来每一个实数也都有惟一一个角,(,如弧度或角度数等于这个实数角,),与之对应,.,(2),因为弧度制单位与实数单位一致，所以能给研究问题带来方便,.,14/56,2.“,角度”与“弧度”区分与联络,(1),区分：,定义不一样,.,单位不一样,.,弧度制是以“弧度”为单位，单位能够省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略,.,弧度制是十进制，而角度制是六十进制,.,15/56,(2),联络：,不论以“弧度”还是以“度”为单位角大小都是一个与圆半径大小无关值，仅和半径与所含弧这二者比值相关,.,“,弧度”与“角度”之间能够相互转化,.,16/56,3.,常见角度与弧度换算结论,17/56,知识点,2,弧度制下扇形弧长、面积公式,观察如图所表示内容，回答以下问题：,问题,1,：计算扇形弧长和面积关键是需要哪几个量？,问题,2,：角度制和弧度制下弧长公式和面积公式哪个更简练？,18/56,【,总结提升,】,1.,对弧度数计算公式两点说明,(1),我们惯用,=,来求解圆中圆心角所正确弧度数，普通来说，在圆,中弧长是个正数，故得出圆心角也为正数,.,但在平面直角坐标系中，,所求角不一定为正角，所以经常依据需要在角,上添加正负号，故,这个求弧度数公式经常记为,|=.,(2),在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为：,l,=|r,，,S=,l,r=|r,2,，其中,为圆心角弧度数，,r,为扇形半径,.,19/56,2.,对弧度制下弧长公式、扇形面积公式三点说明,(1),公式中共四个量分别为,，,l,，,r,，,S,，由其中两个量能够求出另,外两个量，即知二求二,.,(2),利用弧度制下弧长公式及扇形面积公式显著比角度制下公式,简单得多，但要注意它前提是,为弧度制,.,(3),在利用公式时，还应熟练地掌握这两个公式变形利用：,l,=|r,，,|=,，,r=,；,S=|r,2,，,|=,20/56,【,题型探究,】,类型一,角度与弧度互化及应用,【,典例,】,1.,把以下各角从弧度化为度,.,(1)=_.(2)=_.,2.,把以下各角从度化为弧度,.,(1)-1440=_.(2)6730=_.,3.,把以下各角化成,2k+(02,，,kZ),形式，并指出是第几象限角,.,(1)-1500.(2).(3)-4.,21/56,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，从弧度化为度时要乘以多少？,提醒：,弧度数,(),=,度数,.,2.,典例,2,中，从度化为弧度时要乘以多少？,提醒：,度数,rad=,弧度数,.,3.,典例,3,中，,2k+(kZ),与,终边有什么关系？,提醒：,终边相同,.,22/56,【,解析,】,1.,（,1,）,（,2,）,答案：,(1)108 (2)15,2.,（,1,）,-1 440=,（,2,）,6730=67.5=,答案：,23/56,3.(1),因为,-1 500=-1 800+300=-5360+300.,所以,-1 500,可化成,-10+,，是第四象限角,(2),因为,所以 与 终边相同，是第四象限角,(3),因为,-4=-2+(2-4),，,2-4,.,所以,-4,与,2-4,终边相同，是第二象限角,24/56,【,方法技巧,】,角度制与弧度制互化标准、方法以及注意点,(1),标准：切记,180=rad,，充分利用,1=rad,和,1 rad=,(),进行换算,.,(2),方法：设一个角弧度数为,，角度数为,n,，则,rad=,(),；,n=n .,25/56,(3),注意点：,以“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“,rad”,能够省略不写,.,以“弧度”为单位度量角时，经常把弧度数写成多少,形式，如无尤其要求，无须把,写成小数,.,度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度,.,26/56,【,拓展延伸,】,角度制与弧度制互化简单化法,记住,180=rad,，能够采取百分比方式来进行角度制与弧度制互化，如设,75=x rad,，则 ，得,x=rad,，这么求解更简单、方便,.,27/56,【,变式训练,】,1.,（,银川高一检测）,1 920,角转化为弧度数是（）,【,解析,】,选,D.,因为,1=rad,，所以,1 920=(1 920 )rad=,28/56,2.,将,-1 485,化为,2k+(02,，,kZ),形式是,_,【,解析,】,因为,-1 485=-5360+315,，,所以,-1 485,能够表示为,-10+,答案：,-10+,29/56,类型二,用弧度制表示角集合,【,典例,】,1.,终边经过点,(a,，,a)(a0),角,集合是（）,A.B.,C.|=+2k,，,kZ D.|=+k,，,kZ,2.,用弧度制表示终边在图中阴影区域内角集合,(,包含边界,),，并判断,2,012,是不是这个集合元素,30/56,【,解题探究,】,1.,典例,1,中，在,0,，,2,内，哪个角终边经过点,（,a,，,a,）（,a0,）？,提醒：,和 终边经过点（,a,，,a,）（,a0,）,.,2.,典例,2,中，在,0,，,2,内终边在图中阴影区域内角集合,(,包含边,界,),是什么？,提醒：,|.,31/56,【,解析,】,1.,选,D.,终边经过点（,a,，,a,）（,a,0,）角,集合,|=+2k,，,kZ,，,终边经过点,(a,，,a),（,a,0,）角,集合,|=+2k,，,kZ=|=+,（,2k+1,）,，,kZ,，,终边经过点（,a,，,a,）（,a0,）角,集合是,|=+2k,，,kZ|=+,（,2k+1,）,，,kZ,=|=+k,，,kZ.,32/56,2.,因为,150=,所以终边在阴影区域内角集合为,S=|+2k +2k,，,kZ.,因为,2 012=212+5360=,（,+10,）,rad,，,又,所以,2 012=S.,33/56,【,延伸探究,】,典例,1,中点坐标改为“（,-a,，,a,）（,a0,）”，角,集合是什么？,【,解析,】,角,集合是,|=+k,，,kZ.,34/56,【,方法技巧,】,1.,用弧度表示角注意点,（,1,）注意角度与弧度不能混用,.,（,2,）各终边相同角需加,2k,，,kZ.,（,3,）求两个角集合交集时，注意应用数轴直观确定，可对,k,进行适当赋值,.,35/56,2.,处理“弧度”与“角度”概念问题关键点,(1),引入弧度制后，角集合与实数集建立了一一对应关系,.,(2),用角度制和弧度制来度量零角，单位不一样，但数量相同；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不一样，数量也不一样,.,(3)“,角度”与“弧度”能够按照“,180=rad”,这一等量关系进行相互转化,.,36/56,【,变式训练,】,用弧度制表示终边在图中阴影区域内角集合,(,不包含边界,).,【,解题指南,】,先在,0,，,2,内确定终边在阴影区域内且在第一、二象限内角集合，然后加,k,，,kZ.,37/56,【,解析,】,30=,，,150=.,终边在图中阴影区域内角集合,(,不包含边界,),是,S=|+k +k,，,kZ.,38/56,【,赔偿训练,】,用弧度表示终边落在如图所表示阴影部分内,(,不包含边界,),角,集合,.,39/56,【,解析,】,(1),以,OB,为终边,330,角可看成,-30,角，化为弧度，即,而,75=,所以终边落在阴影部分内角集合为,|2k-,2k+,，,kZ.,（,2,）因为,30=rad,，,210=rad,，,这两个角终边所在直线相同，所以终边在直线,AB,上角为,=k+,，,kZ,，而终边在,y,轴上角为,=k+,，,kZ,，从而终边落,在阴影部分内角集合为,|k+,k+,，,kZ.,40/56,类型三,扇形弧长、面积公式应用,【,典例,】,(,淮安高一检测,),已知扇形周长为,8cm.,(1),若该扇形圆心角为,2rad,，求该扇形面积,.,(2),求该扇形面积最大值，并指出对应圆心角,.,41/56,【,解题探究,】,本例中需要用到哪些公式？求扇形面积最大值基本思绪是什么？,提醒：,需要用到弧长公式：,l,=|,|r,和面积公式：,S=,l,r.,求扇形面积最大值基本思绪是先建立扇形面积关于半径函数，再求函数最大值,.,42/56,【,解析,】,设扇形半径为,r,，弧长为,l,，扇形面积为,S.,（,1,）由题意得：,2r+,l,=8,，,l,=2r,，,解得,r=2,，,l,=4,，,S=,l,r=4.,（,2,）由,2r+,l,=8,得,l,=8-2r,，,r,（,0,，,4,），,则,S=,l,r=,(8-2r)r=4r-r,2,=-(r-2),2,+4,，,当,r=2,时，,S,max,=4,，此时,l,=4,，圆心角,=2.,43/56,【,延伸探究,】,1.,（变换条件，改变问法）典例条件下，若扇形面积为,3 cm,2,，求扇形,圆心角弧度数,【,解析,】,设扇形半径为,r,，弧长为,l,，圆心角为,，,扇形面积为,S.,由题意得：,解得,l,=6,，,r=1,或,l,=2,，,r=3,，,所以,=,6,或,44/56,2.(,变换条件、改变问法,),典例条件中“周长为,8cm”,改为“面积为,8cm,2,”,，在,(1),条件下求该扇形弧长,.,【,解析,】,设扇形半径为,r,，弧长为,l,，扇形面积为,S,，则由,S=,r,2,得,8=2r,2,，,所以,r=,所以,l,=r=2 =(cm).,45/56,【,方法技巧,】,弧度制下相关扇形弧长、面积问题解题策略及其注意点,(1),解题策略：,明确弧度制下扇形弧长公式,l,=|r,，扇形面积公式,S=,l,r=,|r,2,(,其中,l,是扇形弧长，,是扇形圆心角,).,包括扇形周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是先分析题目,已知哪些量求哪些量，然后灵活利用弧长公式、扇形面积公式直接求解,或列方程,(,组,),求解,.,46/56,(2),注意点：,在弧度制中弧长公式及扇形面积公式中圆心角可正可负,.,看清角度量制，选取对应公式,.,扇形周长等于弧长加两个半径长,.,47/56,【,赔偿训练,】,已知扇形,AOB,圆心角,为,，半径长,R,为,6,，求：,(1),弧,AB,长,.,(2),扇形所含弓形面积,.,【,解题指南,】,(1),将角度化为弧度，再依据公式求解弧长,.,(2),利用扇形面积减去三角形面积,.,48/56,【,解析,】,(1),l,=,R=6=4,，,所以弧,AB,长为,4.,(2)S,扇形,OAB,=,l,R=46=12.,如图所表示，过点,O,作,ODAB,，交,AB,于,D,点，,=120,，,所以,AOD=60,，,DAO=30,，,于是有,S,OAB,=,ABOD,=26cos303=,所以弓形面积为,S,扇形,OAB,-S,OAB,=12-,所以弓形面积是,12-,49/56,【,延伸探究,】,1.,（变换条件）本题圆心角“,”,改为“,”,，应怎样解答？,【,解析,】,（,1,）弧,AB,长,l,=,R=6=2.,（,2,）,S,扇形,=,l,R=26=6,，,因为,OA=OB,，,AOB=,所以,AOB,是等边三角形，,S,OAB,=ABOAsin =66,所以弓形面积是,S,扇形,-S,OAB,=6-,50/56,2.,（变换条件）“半径,R,长为,6”,改为“周长为,+3”,，求该扇形面积,.,【,解析,】,设扇形半径为,r,，,由题意得：,2r+r=+3,，,2r =+3,，,解得,r=,所以扇形面积,51/56,易错案例,弧度制下扇形弧长和面积公式应用,【,典例,】,（,荆门高一检测）工艺扇面是中国书画一个常见表现形式,.,某班级想用布料制作一面如图所表示扇面,.,已知扇面展开中心角为,120,，外圆半径为,50 cm,，内圆半径为,20 cm.,则制作这么一面扇面需要布料为,_cm,2,（用数字作答，,取,3.14,）,52/56,【,失误案例,】,53/56,【,错解分析,】,分析解题过程，你知道错在哪里吗？,提醒：,错误根本原因是没有将角单位化为弧度，实际上公式,l,=,r,，,S=r,2,中角,单位是弧度,.,54/56,【,自我矫正,】,因为,120=,S,1,=50,2,，,S,2,=20,2,扇面面积,S=S,1,-S,2,=50,2,-20,2,=(50,2,-20,2,)=7007003.14=2198(cm,2,).,答案：,2198,55/56,【,防范办法,】,1.,应用公式两个关注点,(1),在弧度制下，扇形弧长公式及面积公式都得到了简化，详细应用时，要注意角单位取弧度,.,(2),对于弧长和扇形面积公式，把握好表示形式，记准各个量不一样含义,.,2.,注意公式灵活应用,灵活利用扇形弧长公式、面积公式是处理这类问题关键，有时利用方程思想、函数思想和转化思想,.,56/56,