高中数学构造法求数列通.doc
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1、构造法求数列通项例题分析 型如a n+1=pa n+f(n) (p为常数且p0, p1)的数列 (1)f(n)= q (q为常数) 一般地,递推关系式a n+1=pan+q (p、q为常数,且p0,p1)等价与,则为等比数列,从而可求例1、已知数列满足,(),求通项解:由,得,又,所以数列是首项为,公比为的等比数列,练习:已知数列的递推关系为,且,求通项 答案:(2) f(n)为等比数列,如f(n)= q n (q为常数) ,两边同除以q n,得,令,则可转化为bn+1=pbn+q的形式求解例1、已知数列a n中,a1=,求通项解:由条件,得2 n+1a n+1=(2 na n)+1,令b n
2、=2 na n,则bn+1=bn+1,bn+1-3=(bn-3) 易得 b n=,即2 na n=, an=练习、已知数列满足,求通项 答案:(3) f(n)为等差数列,如型递推式,可构造等比数列(选学,注重记忆方法)例1、已知数列满足,(),求解:令,则,代入已知条件,得, 即,令,解得A=4,B=6,所以,且,是以3为首项、以为公比的等比数列,故,故点拨:通过引入一些尚待确定的系数,经过变形与比较,把问题转化成基本数列(等差或等比数列)求解练习:在数列中,求通项 答案:解:由,得,令,比较系数可得:A=6,B=9,令,则有,又,是首项为,公比为的等比数列,所以,故 (4) f(n)为非等差数列,非等比数列法一、构造等差数列法例1、在数列中,其中,求数列的通项公式解:由条件可得,数列是首项为0,公差为1的等差数列,故,练习:在数列an中,求通项。 答案解:由条件可得:,数列是首项为、公差为2的等差数列。法二、构造等比数列法例1、在数列中,求;在数列中,求解:由条件 故, 叠加法得:;由条件可得(等比数列), 故=点拨:形如的复合数列,可把复合数列转化为等差或等比数列,再用初等方法求得例2、已知数列满足,求数列的通项公式解:设,将已知条件代入此式,整理后得,令,解得, 有, 又,且,故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,故4
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