高中数学变化率问题导数的概念(老师版).doc
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1、 1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学习目标1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念,会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一函数的平均变化率1.平均变化率的概念设函数yf(x),x1,x2是其定义域内不同的两个点,那么函数的变化率可用式子表示,我们把这个式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率,习惯上用x表示x2x1,即xx2x1,可把x看作是相对于x1的一个“增量”,可用x1x代替x2;类似地,yf(x2)f(x1).于是,平均变化率可以表示为.2.求平均变化率求函数yf(x)在x1,x2上平均变化率的步骤如下:(1)求
2、自变量的增量xx2x1;(2)求函数值的增量yf(x2)f(x1);(3)求平均变化率.思考(1)如何正确理解x,y?(2)平均变化率的几何意义是什么?答案(1)x是一个整体符号,而不是与x相乘,其值可取正值、负值,但x0;y也是一个整体符号,若xx1x2,则yf(x1)f(x2),而不是yf(x2)f(x1),y可为正数、负数,亦可取零.(2)如图所示:yf(x)在区间x1,x2上的平均变化率是曲线yf(x)在区间x1,x2上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”,越大,曲线yf(x)在区间x1,x2上越“陡峭”,反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜
3、率,若函数yf(x)图象上有两点A(x1,f(x1),B(x2,f(x2),则kAB.知识点二瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数ss(t)描述,设t为时间改变量,在t0t这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是ss(t0t)s(t0),那么位移改变量s与时间改变量t的比就是这段时间内物体的平均速度,即.物理学里,我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度,即t0时刻的瞬时速度,用v表示,物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0t这段时间内的平均变化率在t0时的极限,即v .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思
4、考(1)瞬时变化率的实质是什么?(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么?答案(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值,它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)区别:平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢;联系:当x趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.知识点三导数的概念函数yf(x)在xx0处的导数一般地,函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ,我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或y|,即f(x0) .思考(1)函数f(x)在x0处的导数满足什么条件时存
5、在?(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤是什么?答案(1)函数f(x)在x0处可导,是指x0时,有极限,如果不存在极限,就说函数在点x0处无导数.(2)求解函数f(x)在x0处导数的步骤如下:求函数值的增量:yf(x0x)f(x0);求平均变化率:;取极限,得导数:f(x0) .题型一求平均变化率例1求函数yf(x)2x23在x0到x0x之间的平均变化率,并求当x02,x时该函数的平均变化率.解当自变量从x0变化到x0x时,函数的平均变化率为4x02x.当x02,x时,平均变化率的值为4229.反思与感悟平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值,所以求函数在给定区间x0,x0x上的
6、平均变化率问题,即求的值.跟踪训练1(1)已知函数yf(x)2x21的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1x,1y),则 .答案2x4解析因为yf(1x)f(1)2(x)24x,所以平均变化率2x4.(2)求函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率(x00).解yf(x0x)f(x0),.题型二实际问题中的瞬时速度例2一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s3tt2(位移单位:m,时间单位:s).(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t2时的瞬时速度;(3)求t0到t2时的平均速度.解(1)初速度v0 (3t)3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬 (t1)1.即此物体在t2时
7、的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度方向相反.(3)1.即t0到t2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的,t趋近于0,指时间间隔t越来越小,但不能为0,t,s在变化中都趋近于0,但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2已知一物体作自由落体运动,下落的高度的表达式为sgt2,其中g为重力加速度,g9.8米/平方秒(s的单位:米).(1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度;(2)求t3秒时的瞬时速度.解(1)当t在区间3,3.1上时,t3.130.1(秒),ss(3.1)s(3)g3.12g322.989
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