2024-2025学年江苏省苏州市张家港市外国语学校数学高二下期末质量检测试题含解析.doc

2024-2025学年江苏省苏州市张家港市外国语学校数学高二下期末质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，那么( )
A． B． C． D．
3．对于偶函数，“的图象关于直线对称”是“是周期为2的周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，得0分的概率为0.5（投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则的最大值为
A． B． C． D．
6．如图是导函数的图象，则的极大值点是（ ）

A． B． C． D．
7．椭圆的左、右焦点分别为，弦过，若的内切圆的周长为， 两点的坐标分别为， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的最小值是
A． B． C． D．
9．已知全集，集合,，则（ ）
A． B．
C． D．
10．在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．100
11．正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是( )
A． B．2 C． D．
12．已知命题，则为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．=______．
14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．
15．已知集合，，，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.
16．在长方体中，，，，二面角的大小是_________（用反三角表示）．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知集合，．
(Ⅰ)当时，求A∩(∁RB)；
(Ⅱ)当时，求实数m的值．
18．（12分）如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．

（Ⅰ）求证；
（Ⅱ）若平面．
①求二面角的大小；
②在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．
19．（12分）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.
（1）求汽车在第个路口首次停车的概率；
（2）求的概率分布和数学期望.
20．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，且的面积为，求.
21．（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
22．（10分）已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.
(1)求g(x)的解析式并判断g(x)的奇偶性；
(2)求函数g(x)的值域.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.
【详解】
对，，因为大小无法确定，故不一定成立；
对，当时，才能成立，故也不一定成立；
对，当时不成立，故也不一定成立；
对，，故一定成立.
故选：D.
本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.
2、C
【解析】
解出集合B，即可求得两个集合的交集.
【详解】
由题：，
所以.
故选：C
此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出方程的解集，根据集合交集运算法则求解.
3、D
【解析】
将两个条件相互推导，根据推导的结果选出正确选项.
【详解】
依题意，函数为偶函数，即.“的图象关于直线对称”“是周期为2的周期函数”.故为充要条件，即本小题选D.
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.
4、B
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，所以体积为.
考点：三视图.
5、D
【解析】
设这个篮球运动员得1分的概率为c，由题设知 ，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．
【详解】
设这个篮球运动员得1分的概率为c， 
∵这个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为0.5， 
投篮一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投篮一次得分的数学期望为1， 
∴ ， 
解得2a+b=0.5， 
∵a、b∈（0，1）， 
∴ = = ， 
∴ab ， 
当且仅当2a=b= 时，ab取最大值 ． 
故选D． 
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．
6、B
【解析】
根据题意，有导函数的图象，结合函数的导数与极值的关系，分析可得答案．
【详解】
根据题意，由导函数的图象，
，并且，，，在区间，上为增函数，
，，，在区间，上为减函数，
故是函数的极大值点；
故选：．
本题考查函数的导数与单调性、极值的关系，注意函数的导数与极值的关系，属于基础题．
7、A
【解析】
设△ABF1的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF1．设内切圆的半径为r，则1πr=π，解得r=．可得==•|F1F1|，即可得出．
【详解】
由椭圆=1，可得a=5，b=4，c==2．
如图所示，
设△ABF1的内切圆的圆心为G．连接AG，BG，GF1．
设内切圆的半径为r，则1πr=π，解得r=．
则==•|F1F1|，
∴4a=|y1﹣y1|×1c，
∴|y1﹣y1|==．
故选C．

本题考查了椭圆的标准方程定义及其性质、三角形内切圆的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8、B
【解析】
将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以可得出答案．
【详解】
因为 ，
又，所以，
当且仅当时取，故选B．
本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．
9、B
【解析】
试题分析：，
所以 ．
考点：集合的交集、补集运算．
10、A
【解析】
假设分数为时，可知，可知分数不可能为，得到结果.
【详解】
当为该班某学生的成绩时，则，则
与方差为矛盾 不可能是该班成绩
故选：
本题考查平均数、方差的相关运算，属于基础题.
11、A
【解析】
试题分析：由得解得，再由得，所以，所以.
考点：数列与基本不等式.
【思路点晴】本题主要考查等比数列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解决等比数列的首项和公比，也即求出等比数列的基本元，在求解过程中，先对具体的数值条件进行化简，可求出，由此化简第一个条件，可得到；接下来第二步是基本不等式常用的处理技巧，先乘以一个常数，再除以这个常数，构造基本不等式结构来求.
12、C
【解析】
分析：把全称改为特称，大于改为小于等于。
详解：，故选C
点睛：带全称、特称量词的否定，
命题“，则成立”的否定：，则成立
命题“，则成立”的否定：，则成立

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
试题分析：．
考点：对数的运算．
14、
【解析】
由组合数结合古典概型求解即可
【详解】
从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共三种，所以，所求概率为.
故答案为
本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.
15、.
【解析】
由组合数的性质得出，先求出无任何限制条件下所确定的点的个数，然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数，将两数作差可得出结果.
【详解】
由组合数的性质得出，不考虑任何限制条件下不同点的个数为，
由于，坐标中同时含和的点的个数为，
综上所述：所求点的个数为，故答案为.
本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
16、
【解析】
根据二面角平面角的定义可知为二面角的平面角，在直角三角形中表示出，进而求得结果.
【详解】

由长方体特点可知：平面
又平面，平面 ，
即为二面角的平面角
又，，

即二面角的大小为：
本题正确结果：
本题考查二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义确定平面角，将平面角放到直角三角形中来进行求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}（Ⅱ）m＝1
【解析】
（Ⅰ）求出A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3时，求出B＝{x|﹣1＜x＜3}，然后进行补集、交集的运算即可；
（Ⅱ）根据A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}即可得出，x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的实数根，带入方程即可求出m．
【详解】
（Ⅰ）A＝{y|﹣1≤y≤5}，m＝3时，B＝{x|﹣1＜x＜3}；
∴∁RB＝{x|x≤﹣1，或x≥3}；
∴A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5，或x＝﹣1}；
（Ⅱ）∵A∪B＝{x|﹣2＜x≤5}；
∴x＝﹣2是方程x2﹣2x﹣m＝0的一个实根；
∴4+4﹣m＝0；
∴m＝1．经检验满足题意
本题考查交集、补集的运算，涉及不等式的性质，描述法的定义，一元二次不等式的解法的知识方法，属于基础题．
18、Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．
【解析】
Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；
Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；
求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.
【详解】
证明：Ⅰ在图1中，，，

为平行四边形，，
，，
当沿AD折起时，，，即，，
又，平面PAB，
又平面PAB，．
解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD
则0，，0，，1，，0，，1，
1，，1，，0，，
设平面PBC的法向量为y，，
则，取，得0，，
设平面PCD的法向量b，，
则，取，得1，，
设二面角的大小为，可知为钝角，
则，．
二面角的大小为．
设AM与面PBC所成角为，
0，，1，，，，
平面PBC的法向量0，，
直线AM与平面PBC所成的角为，
，
解得或．
【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.
19、（1）;（2）分布列见解析，数学期望 .
【解析】
（1）汽车在第3个路口首次停车是指汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出汽车在第3个路口首次停车的概率．
（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．的可能取值为0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意知汽车在前两个路口都遇到绿灯，在第3个路口遇到绿灯，
汽车在第3个路口首次停车的概率为：．
（2）设前往目的地途中遇到绿灯数为，则，
用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值．
则的可能取值为0，2，4，则，
，，
，的概率分布列为：

0
2
4

数学期望．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力.
20、（1）见解析（2）2
【解析】
试题分析：（1）由，根据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由 ，解得.
试题解析：（1）根据正弦定理，
由已知得： ，
展开得： ，
整理得：，所以，.
（2）由已知得：，∴ ，
由，得：，，∴，
由，得：，所以，，
由 ，得：.
21、 (1) ，；(2) ，.
【解析】
(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.
【详解】
(1)由题得，解得，由，解得.
(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，
乙离子残留百分比的平均值为
本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.
22、（1）,为奇函数; （2）.
【解析】
试题分析：(1)先求出,即可得的解析式，然后利用奇偶性的定义判断的奇偶性;
(2)根据分式的特点，结合指数函数的性质求解值域.
试题解析：（1）由，得，故，所以.
因为，而， 所以函数为奇函数.
（2），，所以，即函数的值域为（）.