2013年考研数三真题及答案解析-共10页.pdf
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1、20132013 年考研数三真题及答案解析年考研数三真题及答案解析一、选择题 18 小题每小题 4 分,共 32 分、当当时,用时,用表示比表示比高阶的无穷小,则下列式子中错误的是(高阶的无穷小,则下列式子中错误的是()0 x)(xox(A A)(B B))()(32xoxox)()()(32xoxoxo(C C)(D D))()()(222xoxoxo)()()(22xoxoxo【详解】由高阶无穷小的定义可知(A)(B)(C)都是正确的,对于(D)可找出反例,例如当时,但而不0 x)()(),()(2332xoxxgxoxxxf)()()(xoxgxf是故应该选(D))(2xo2 2函数函数
2、的可去间断点的个数为(的可去间断点的个数为()xxxxxfxln)1(1)((A A)0 0 (B B)1 1 (C C)2 2 (D D)3 3【详解】当时,0lnxxxxexxxxln11ln,所以是函数的可去间断点1lnlnlimln)1(1lim)(lim000 xxxxxxxxxfxxxx0 x)(xf,所以是函数的可去间断点21ln2lnlimln)1(1lim)(lim011xxxxxxxxxfxxxx1x)(xf,所以所以不是函数xxxxxxxxxfxxxxln)1(lnlimln)1(1lim)(lim1111x的可去间断点)(xf故应该选(C)设设是圆域是圆域的第的第象限的
3、部分,记象限的部分,记,kD1|),(22yxyxDkkDkdxdyxyI)(则(则()(A A)(B B)(C C)(D D)01I02I03I04I【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知22122110222)1(|cossin31)sin(sin31)cos(sin)(kkkkkkDkddrrddxdyxyIk所以,应该选(B)32,32,04231IIII设设为正项数列,则下列选择项正确的是(为正项数列,则下列选择项正确的是()na(A A)若)若,则,则收敛;收敛;1nnaa11)1(nnna(B B)若)若收敛,则收敛,则;11)1(nnna1nnaa(C C)若)若收敛则存在常数
4、收敛则存在常数,使,使存在;存在;1nna1Pnpnanlim(D D)若存在常数)若存在常数,使,使存在,则存在,则收敛收敛1Pnpnanlim1nna【详解】由正项级数的比较审敛法,可知选项(D)正确,故应选()此小题的(A)(B)选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件,对于选项(A),但少一条件,显然错误而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条0limnna件,选项(B)也不正确,反例自己去构造设,均为设,均为阶矩阵,若,且可逆,则阶矩阵,若,且可逆,则n(A A)矩阵)矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A A 的行向量组等价的行向量组等价(B B)矩阵)矩阵
5、C C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A A 的列向量组等价的列向量组等价(C C)矩阵)矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 B B 的行向量组等价的行向量组等价(D D)矩阵)矩阵 C C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B B 的列向量组等价的列向量组等价【详解】把矩阵 A,C 列分块如下:,由于nnCA,2121LL,则可知,得到矩阵 C 的列向量组),2,1(2211nibbbniniiiLL可用矩阵 A 的列向量组线性表示同时由于 B 可逆,即,同理可知矩阵 A 的列向1 CBA量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示,所以矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价
6、应该选(B)6 6矩阵矩阵与矩阵与矩阵相似的充分必要条件是相似的充分必要条件是1111aabaa00000002b(A A)(B B),为任意常数为任意常数2,0ba0ab(C C)(D D),为任意常数为任意常数0,2ba2ab【详解】注意矩阵是对角矩阵,所以矩阵 A=与矩阵相00000002b1111aabaa00000002b似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等)22)2(111122abbaabaaAE从而可知,即,为任意常数,故选择(B)bab22220ab7 7设设是随机变量,且是随机变量,且,321,XXX)3,5(),2,0(),1,0(23221NXNXNX,则,则22
7、iiXPP(A A)(B B)321PPP312PPP(C C)(D D)123PPP231PPP【详解】若,则),(2NX)1,0(NX,1)2(21P1)1(212122222XPXPP)13737)1(3523535222333XPXPP,23PP0)1(32)1(3371故选择(A)8 8设随机变量设随机变量 X X 和和 Y Y 相互独立,且相互独立,且 X X 和和 Y Y 的概率分布分别为的概率分布分别为X X0 01 12 23P3PP P1/21/21/41/41/81/81/81/8Y Y-1-10 01 1P P1/31/31/31/31/31/3则则()2YXP(A A
8、)(B B)(C C)(D D)121816121【详解】612412411211,30,21,12YXPYXPYXPYXP,故选择(C)二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)9 9设曲线设曲线和和在点在点处有切线,则处有切线,则)(xfy xxy2 0,12limnnnfn【详解】由条件可知所以1)1(,01ff2)1(22222)1(221lim2limfnnnfnfnnnfnn1010设函数设函数是由方程是由方程确定,则确定,则yxzz,xyyzx)2,1(|xz【详解】设,则xyyzzyxFx)(,,1)(),(,)ln()(,xzxxyz
9、xzyxFyyzyzzyxF当时,所以2,1yx0z2ln22|)2,1(xz1111xdxx12)1(ln【详解】2ln|1ln)1(1|1ln11ln)1(ln111112xxdxxxxxxxdxdxx1212微分方程微分方程的通解为的通解为041 yyy【详解】方程的特征方程为,两个特征根分别为,所以方程041r2121通解为,其中为任意常数221)(xexCCy21,CC1313设设是三阶非零矩阵,是三阶非零矩阵,为其行列式,为其行列式,为元素为元素的代数余子式,且满足的代数余子式,且满足 ijaA AijAija,则,则=)3,2,1,(0jiaAijijA【详解】由条件可知,其中为
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