鄱阳县湖城学校2020—2021年初二上期中数学试卷含答案解析.doc

鄱阳县湖城学校2020—2021年初二上期中数学试卷含答案解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．三角形的内角和等于（　　）
A．90° B．180° C．300° D．360°
2．下列说法正确的是（　　）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
3．如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（　　）

A．∠A=∠D B．∠ACB=∠F C．∠B=∠DEF D．∠ACB=∠D
4．如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是（　　）

A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
5．下列漂亮的车标中是轴对称图形的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
7．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去那个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=　　．

8．如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，那个条件是　　．

9．如图，在矩形ABCD中，点P在AB上，且PC平分∠ACB．若PB=3，AC=10，则△PAC的面积为　　．

10．已知A（1，﹣2）与点B关于y轴对称．则点B的坐标是　　．
11．三角形ABC中，AD是中线，且AB=4，AC=6，求AD的取值范畴是　　．
12．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特点三角形”，其中α称为“特点角”．假如一个“特点三角形”中最小的内角为30°，那么其中“特点角”的度数为　　．

三、解答题（共5小题，满分30分）
13．一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B、∠D应分别等于20°和30°，小李量得∠BCD=145°，他确信那个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

14．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．

15．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC．
（1）当∠B=40°时，求∠ADC的度数；
（2）若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．

17．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

四、解答题（共4小题，满分32分）
18．如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD
（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．

19．填写下列空格，完成证明．
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．
求证：∠3=∠F
证明：因为AD是△ABC的角平分线 （ 已知 ）
因此∠1=∠2 （　　 ）
因为EF∥AD（已知）
因此∠3=∠　　 （　　）
∠F=∠　　 （　　 ）
因此∠3=∠F（　　 ）．

20．如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，连接DE，猜想DE与OC的位置关系？并说明理由．

21．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于G．求证：BF=CG．

五、解答题（共1小题，满分10分）
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直截了当写出AB+AC与AE之间的等量关系．

六、解答题（共1小题，满分12分）
23．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．
（1）假如点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，通过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C动身，点P以原先的运动速度从点B同时动身，都逆时针沿△ABC三边运动，则通过　　后，点P与点Q第一次在△ABC的　　边上相遇？（在横线上直截了当写出答案，不必书写解题过程）

2021-2021学年江西省上饶市鄱阳县湖城学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．三角形的内角和等于（　　）
A．90° B．180° C．300° D．360°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解本题
【解答】解：因为三角形的内角和为180度．
因此B正确．
故选B．
【点评】此题要紧考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．

2．下列说法正确的是（　　）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】依照三角形的角平分线的定义与性质判定①与②；依照三角形的高的定义及性质判定③；依照三角形的中线的定义及性质判定④即可．
【解答】解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
故选D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与那个内角的对边交于一点，则那个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

3．如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（　　）

A．∠A=∠D B．∠ACB=∠F C．∠B=∠DEF D．∠ACB=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，有AC=DF，BC=EF，能够加∠ACB=∠F，就能够用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：A，添加∠A=∠D，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
B，添加∠ACB=∠F，满足SAS，能判定△ABC≌△DEF；
C，添加∠B=∠DEF，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
D，添加∠ACB=∠D，两角不是对应角，不能判定△ABC≌△DEF；
故选B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时，要结合已知与图形对选项逐个验证．

4．如图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是（　　）

A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点M作MN⊥AB于N，依照角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MN=CM，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MN⊥AB于N，
∵∠C=90°，AM平分∠CAB，
∴MN=CM，
∵CM=20cm，
∴MN=20cm，
即M到AB的距离是20cm．
故选C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，点到直线的距离，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

5．下列漂亮的车标中是轴对称图形的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】依照轴对称图形的概念求解．
【解答】解：第1，2，3个图形是轴对称图形，共3个．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是查找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—差不多作图．
【分析】①依照作图的过程能够判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义能够推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边能够证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质能够证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积运算公式来求两个三角形的面积之比．
【解答】解：①依照作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=AC•AD： AC•AD=1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．

【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣差不多作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
7．如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去那个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=　240°　．

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则依照多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：依照三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，
则依照四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°﹣120°=240°．
故答案为：240°．
【点评】要紧考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．

8．如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，那个条件是　∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD　．

【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】本题要判定△OAB≌△OCD，已知OA=OC，∠AOB=∠COD，具备了一组边对应相等和一组角对应相等，故添加∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD后可分别依照ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≌△OCD．
【解答】解：∵OA=OC，∠A=∠C，∠AOB=∠COD，
∴△OAB≌△OCD（ASA）．
∵OA=OC，∠B=∠D，∠AOB=∠COD，
∴△OAB≌△OCD（AAS）．
∵OA=OC，OD=OB，∠AOB=∠COD，
∴△OAB≌△OCD（SAS）．
∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），
∵OA=OC，
∴△OAB≌△OCD（AAS）．
故填∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一样方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

9．如图，在矩形ABCD中，点P在AB上，且PC平分∠ACB．若PB=3，AC=10，则△PAC的面积为　15　．

【考点】角平分线的性质．
【专题】探究型．
【分析】过点P作PE⊥AC于E，由角平分线的性质可知PE=PB=3，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点P作PE⊥AC于E，
∵PC平分∠ACB，PB=3，
∴PE=PB=3，
∴S△PAC=AC•PE=×10×3=15．
故答案为：15．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．

10．已知A（1，﹣2）与点B关于y轴对称．则点B的坐标是　（﹣1，﹣2）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】依照“关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变”解答即可．
【解答】解：∵A（1，﹣2）与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标是（﹣1，﹣2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．

11．三角形ABC中，AD是中线，且AB=4，AC=6，求AD的取值范畴是　1＜AD＜5　．
【考点】三角形三边关系．
【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=8，在△ABE中，依照三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
∵，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜2AD＜6+4，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，作出正确辅助线是解题关键．

12．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特点三角形”，其中α称为“特点角”．假如一个“特点三角形”中最小的内角为30°，那么其中“特点角”的度数为　60°或100°　．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】设“特点角”的度数为x°，依照“特点角”的定义结合三角形的内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设“特点角”的度数为x°，
由已知得：x=2×30或x++30=180，
解得：x=60或x=100．
故答案为：60°或100°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是依照三角形内角和定理找出关于x的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定明白得决问题是关键．

三、解答题（共5小题，满分30分）
13．一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B、∠D应分别等于20°和30°，小李量得∠BCD=145°，他确信那个零件不合格，你能说出其中的道理吗？

【考点】三角形的外角性质．
【专题】应用题．
【分析】延长BC与AD相交于点E，依照三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BCD即可判定．
【解答】解：如图，延长BC与AD相交于点E，
由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠A=20°+90°=110°，
∠BCD=∠1+∠D=110°+30°=140°，
∵小李量得∠BCD=145°，不是140°，
∴那个零件不合格．

【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．

14．如图，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，且∠D+∠C=220°，求∠AOB的度数．

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】第一依照四边形内角和为360度运算出∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，再依照∠1=∠2，∠3=∠4运算出∠2+∠3=70°，然后利用三角形内角和为180度运算出∠AOB的度数．
【解答】解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC=360°，∠D+∠C=220°，
∴∠DAB+∠ABC=360°﹣220°=140°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=70°，
∴∠AOB=180°﹣70°=110°．
【点评】此题要紧考查了多边形的内角，关键是把握四边形内角和为360°，三角形内角和为180°．

15．如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求证：∠A=∠D．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先证出∠ACB=∠DCE，再由SAS证明△ABC≌△DEC，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练把握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC．
（1）当∠B=40°时，求∠ADC的度数；
（2）若AB=10cm，CD=4cm，求△ABD的面积．

【考点】三角形内角和定理；三角形的面积．
【分析】（1）依照三角形的内角和得到∠BAC=50°，依照三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）过D作DE⊥AB于E，依照角平分线的性质得到DE=CD=4，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠C=90°，∠B=40°，
∴∠BAC=50°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=65°；
（2）过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=4，
∴SAB•DE=×10×4=20cm2．

【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的面积的运算，角平分线的性质，熟练把握角平分线的性质是解题的关键．

17．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于y对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．

【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）依照关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出点C1的坐标即可；
（2）依照关于y轴对称的点的坐标特点画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示，点C1的坐标（3，﹣2）；

（2）如图2所示，点C2的坐标 （﹣3，2）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

四、解答题（共4小题，满分32分）
18．如图，已知△ABC中，点D在边AC上，且BC=CD
（1）用尺规作出∠ACB的平分线CP（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）中，设CP与AB相交于点E，连接DE，求证：BE=DE．

【考点】全等三角形的判定与性质；作图—差不多作图．
【分析】（1）依照尺规作图的差不多作图平分一只角的方法，就能够作出射线CP；
（2）由CP平分∠ACB能够得出∠ACE=∠BCE，就能够由SAS证明△CDE≌△CBE，就能够得出结论．
【解答】（1）解：如图1，射线CP为所求作的图形．

（2）证明：∵CP是∠ACB的平分线
∴∠DCE=∠BCE．
在△CDE和△CBE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴BE=DE．

【点评】本题考查了尺规作图的差不多作图平分已知角的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

19．填写下列空格，完成证明．
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF∥AD，EF交AB于点G．
求证：∠3=∠F
证明：因为AD是△ABC的角平分线 （ 已知 ）
因此∠1=∠2 （　角平分线的定义　 ）
因为EF∥AD（已知）
因此∠3=∠　1　 （　两直线平行，内错角相等　）
∠F=∠　2　 （　两直线平行，同位角相等　 ）
因此∠3=∠F（　等量代换　 ）．

【考点】平行线的性质．
【分析】依照角平分线的定义可得出∠1=∠2，再依照平行线的性质可得出∠3=∠1、∠F=∠2，进而即可得出∠3=∠F．
【解答】证明：因为AD是△ABC的角平分线（已知 ），
因此∠1=∠2（角平分线的定义）．
因为EF∥AD（已知），
因此∠3=∠1（两直线平行，内错角相等），∠F=∠2（两直线平行，同位角相等），
因此∠3=∠F（等量代换 ）．
故答案为：角平分线的定义；∠1；两直线平行，内错角相等；∠2；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是依照平行线的性质找出∠3=∠1、∠F=∠2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．

20．如图，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，连接DE，猜想DE与OC的位置关系？并说明理由．

【考点】角平分线的性质．
【分析】由OC平分∠AOB得∠COD=∠COE，由CD⊥OA、CE⊥OB知∠CDO=∠CEO=90°，从而证△COD≌△COE可得OD=OE，OC=OE，即可说明OC垂直平分DE．
【解答】解：OC垂直平分DE，
∵OC平分∠AOB，
∴∠COD=∠COE，
又∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
在△COD和△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD=OE，OC=OE，
∴OC垂直平分DE．
【点评】本题要紧考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、中垂线的性质，依照全等三角形的判定与性质证得OD=OE，OC=OE是解题的关键．

21．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于G．求证：BF=CG．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】连接EB、EC，利用已知条件证明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF=CG．
【解答】解：如图，连接BE、EC，

∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

五、解答题（共1小题，满分10分）
22．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直截了当写出AB+AC与AE之间的等量关系．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）依照相“HL”定理得出△BDE≌△CDF，故可得出DE=DF，因此AD平分∠BAC；
（2）由（1）中△BDE≌△CDE可知BE=CF，AD平分∠BAC，故可得出△AED≌△AFD，因此AE=AF，故AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；

（2）AB+AC=2AE．
证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
【点评】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的性质及其逆定理是解答此题的关键．

六、解答题（共1小题，满分12分）
23．如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．
（1）假如点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，通过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C动身，点P以原先的运动速度从点B同时动身，都逆时针沿△ABC三边运动，则通过　24秒　后，点P与点Q第一次在△ABC的　AC　边上相遇？（在横线上直截了当写出答案，不必书写解题过程）

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】运算题；动点型．
【分析】（1）①依照时刻和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，依照SAS判定两个三角形全等．
②依照全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再依照路程=速度×时刻公式，先求得点P运动的时刻，再求得点Q的运动速度；
（2）依照题意结合图形分析发觉：由于点Q的速度快，且在点P的前边，因此要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．
【解答】解：（1）①全等，理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=1×1=1厘米，
∵AB=6cm，点D为AB的中点，
∴BD=3cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，
∴PC=4﹣1=3cm，
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP；

②假设△BPD≌△CQP，
∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，
∴点P，点Q运动的时刻t==2秒，
∴vQ===1.5cm/s；

（2）设通过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得 1.5x=x+2×6，
解得x=24，
∴点P共运动了24s×1cm/s=24cm．
∵24=2×12，
∴点P、点Q在AC边上相遇，
∴通过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．

【点评】此题要紧是运用了路程=速度×时刻的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．