2025届内蒙古重点中学数学高一第二学期期末检测模拟试题含解析.doc

2025届内蒙古重点中学数学高一第二学期期末检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在平行四边形ABCD中， ，，E是CD的中点，则（ ）
A．2 B．-3 C．4 D．6
2．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
3．设是定义在上的偶函数，若当时，，则( )
A． B． C． D．
4．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )．
A． B．2 C． D．
5．如图，正方体的棱长为，那么四棱锥的体积是（）

A．
B．
C．
D．
6．设集合，则
A． B． C． D．
7．在正项等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的最大值为，最小值为，则与满足的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（）
A．锐角是第一象限的角，所以第一象限的角都是锐角;
B．如果向量，则；
C．在中，记，，则向量与可以作为平面ABC内的一组基底；
D．若，都是单位向量，则.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在中，角、、所对应边分别为、、，，的平分线交于点，且，则的最小值为______
12．数列满足，当时，，则是否存在不小于2的正整数，使成立？若存在，则在横线处直接填写的值；若不存在，就填写“不存在”_______.
13．中,三边所对的角分别为,若,则角______.
14．已知，则______.
15．已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 .
16．设等比数列的前项和为，若，,则的值为______．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．的内角的对边分别为.
（1）求证:；
（2）在边上取一点P，若.求证:.
18．如图，在四边形中，，，.

（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长.
19．如图，是边长为2的正三角形.若，平面，平面平面，，且.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
20．已知圆心在直线上的圆C经过点，且与直线相切.
（1）求过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线方程；
（2）过点P作两条相异的直线分别与圆C交于A，B，若直线PA，PB的倾斜角互补，试判断直线AB与OP的位置关系（O为坐标原点），并证明.
21．已知函数，.
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）在中，内角、、所对边的长分别是，若，，，求的面积的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】
由平面向量的线性运算可得，再结合向量的数量积运算即可得解.
【详解】
解：由，，
所以, ,，
则,
故选：A.
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了向量的数量积运算，属中档题.
2、B
【解析】
根据扇形的弧长与面积公式,代入已知条件即可求解.
【详解】
设扇形的弧长为,面积为,半径为,圆心角弧度数为
由定义可得,代入
解得rad
故选:B
本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,属于基础题.
3、A
【解析】
利用函数的为偶函数，可得，代入解析式即可求解.
【详解】
是定义在上的偶函数，则，
又当时，，
所以.
故选：A
本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.
4、D
【解析】
利用三角形面积公式列出关系式，把，已知面积代入求出的长，再利用余弦定理即可求出的长．
【详解】
∵在中，，且的面积为，
∴，
解得： ，
由余弦定理得： ，
则．
故选D．
此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
5、B
【解析】
根据锥体体积公式，求得四棱锥的体积.
【详解】
根据正方体的几何性质可知平面，所以，故选B.
本小题主要考查四棱锥体积的计算，属于基础题.
6、B
【解析】
,选B.
【考点】 集合的运算
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
7、D
【解析】
结合对数的运算，得到，即可求解.
【详解】
由题意，在正项等比数列中，，
则.
故选：D.
本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟记等比数列的性质，合理应用对数的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
8、B
【解析】
将函数化为一个常数函数与一个奇函数的和，再利用奇函数的对称性可得答案.
【详解】
因为
，
令，则，
所以为奇函数，
所以，
所以，
故选：B
本题考查了两角差的余弦公式，考查了奇函数的对称性的应用，属于中档题.
9、B
【解析】
首先利用辅助角公式将函数化为，然后再采用整体代入即可求解.
【详解】
由函数，
所以，解得，
当时，
故函数图象的对称中心的是.
故选：B
本题考查了辅助角公式以及整体代入法求三角函数的中心对称点，需熟记三角函数的性质，属于基础题.
10、C
【解析】
可举的角在第一象限，但不是锐角，可判断A；考虑两向量是否为零向量，可判断B；由不共线，推得与不共线，可判断C；考虑两向量的方向可判断D，得到答案．
【详解】
对于A，锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定为锐角，
比如的角在第一象限，但不是锐角，故A错误；
对于B，如果两个非零向量满足，则，
若存在零向量，结论不一定成立，故B错误；
对于C，在中，记，可得与不共线，
则向量与可以作为平面内的一组基底，故C正确；
对于D，若都是单位向量，且方向相同时，；若方向不相同，结论不成立，
所以D错误．
故选C．
本题主要考查了命题的真假判断，主要是向量共线和垂直的条件，着重考查了判断能力和分析能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、18
【解析】
根据三角形面积公式找到的关系，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】
根据题意，，
因为的平分线交于点，且，
所以

而
所以，化简得
则
当且仅当，即，时取等号，即最小值为.
故答案为：
本题考查三角形面积公式和基本不等式，考查计算能力，属于中等题型
12、70
【解析】
构造数列，
两式与相减可得数列{}为等差数列，求出，让=0即可求出.
【详解】
设

两式相减得
又

数列从第5 项开始为等差数列，由已知易得均不为0

所以当n=70的时候成立，故答案填70.
如果递推式中出现和的形式，比如，可以尝试退项相减，即让取后，两式作差，和的部分因为相减而抵消，剩下的就好算了。
13、
【解析】
利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.
【详解】
由得，由于，所以.
本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
14、
【解析】
利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】
解：，

故答案为：
本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题.
15、
【解析】
由题意得，依次求得，，， ，，
∵，且＞0，∴，依次求得== ====，
∴+=+=．
考点：数列的递推公式．
16、16
【解析】
利用及可计算，从而可计算的值.
【详解】
因为，故，
因为，故，故，
故填16.
等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1） 余弦定理的证明其实在课本就直接给出过它向量方法的证明，通过，等向量模长相等就可，当然我们还可以通过坐标的运算完成（如方法二）
（2） 通过点P，将三角形分割，这种题中多注意几个相等（公共边相等，）我们可以得到相对应的等量关系，完成本题.
【详解】
（1）证法一:如图，

即

证法二:已知中所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，
所以

（2）

令，由余弦定理得:
，
因为
所以
所以
所以
（1） 向量既有大小又有方向.在几何中是一种很重要的工具，比如三角形中，三边有大小，角度问题我们可以转化为向量夹角相关，所以很容易想到向量方法.
（2） 解组合三角形问题，多注重图形中一些恒等关系比如边长、角度问题.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．
（2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得从而，在中，由正弦定理得，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果.
【详解】
（1）因为，，，
所以，即，
所以.
所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得：，
所以；
在中，，所以.
即，化简得：，
所以，
所以，，
所以在中，.
即，解得或（舍）.
本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19、（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）取的中点，连接，由平面平面，得平面，再证即可证明（2）证明平面，再根据面面垂直的判定定理从而进行证明．
【详解】
（1）取的中点，连接，因为，且，.
所以，.又因为平面平面，
所以平面，又平面，所以
又因为平面，平面，所以平面.

（2）连接，由（1）知，
又，，所以四边形是平行四边形，
所以.又是正三角形，为的中点，∴，
因为平面平面，所以平面，
所以平面.
又平面，所以.
因为，，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
本题考查了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的判定定理，考查空间想象和推理能力，熟记定理是关键，是一道中档题．
20、（1）或；（2）平行
【解析】
（1）设出圆的圆心为，半径为，可得圆的标准方程，根据题意可得，解出即可得出圆的方程，讨论过点P的直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解.
（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜率均存在时，则直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，分别与圆C联立可得，利用斜率的计算公式与作比较即可.
【详解】
（1）根据题意，不妨设圆C的圆心为，半径为，
则圆C，
由圆C经过点，且与直线相切，
则，解得，
故圆C的方程为：，所以点在圆上，
过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线，
当直线的斜率不存在时，直线为： ，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
直线方程为：，故，
解得，故直线方程为：.
综上所述：所求直线的方程：或.
（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，且直线PA，PB的斜率均存在，
设两直线的倾斜角为和，
，，因为，
由正切的性质，则，
不妨设直线的斜率为，则PB的斜率为，
即：，则：，
由，得，
点的横坐标为一定是该方程的解，故可得，
同理，，
，
,
直线AB与OP平行.
本题考查了圆的标准方程，已知弦长求直线方程，考查了直线与圆的位置关系以及学生的计算能力，属于中档题.
21、（1），；（2）.
【解析】
（1）首先把化成的型式，再根据三角函的单调性即可解决
（2）根据（1）结果把代入可得A的大小，从而计算出B的大小，根据正弦定理以及面积公式即可解决。
【详解】
（1）因为

，
由，，
得，，
又，所以或，
所以函数在上的递增区间为：，；
（2）因为，∴，∴，
∴，，∴，，
∵，∴．∴，
在三角形中由正弦定理得，∴，
.
本题主要考查了三角函数问题以及解三角形问题。三角函数问题常考周期、单调性最值等，在解三角形中长考的有正弦定理、余弦定理以及面积公式。