2024-2025学年黑龙江省伊春市数学高一下期末统考模拟试题含解析.doc

2024-2025学年黑龙江省伊春市数学高一下期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．在正方体中，当点在线段（与，不重合）上运动时，总有：

①； ②平面平面；③平面； ④．
以上四个推断中正确的是( )
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
3．在等差数列中，若，则（ ）
A．8 B．12 C．14 D．10
4．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若,，，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
7．为了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体ABCD-ABCD中,E、F分别为BB、CC的中点,那么异面直线AE与DF所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
9．已知是不共线的非零向量，，，，则四边形是 （ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
10．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．数列的前项和为，，且（），记，则的值是________.
12．直线在轴上的截距是__________.
13．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高，，三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在内的学生中抽取的人数应为________.

14．关于的不等式，对于恒成立，则实数的取值范围为_______.
15．方程，的解集是__________．
16．在平面直角坐标系中，在轴、轴正方向上的投影分别是、，则与同向的单位向量是__________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知等比数列的公比，前项和为，且满足.，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若，的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围.
18．设全集为，集合，集合.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
19．已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若的面积为，求在上的投影.
21．泉州与福州两地相距约200千米，一辆货车从泉州匀速行驶到福州，规定速度不得超过千米/时，已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度千米/时的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为64元.
（1）把全程运输成本元表示为速度千米/时的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．
【详解】
由线性约束条件作出可行域，如下图三角形阴影部分区域（含边界），令，直线：，平移直线，当过点时取得最大值，当过点时取得最小值，所以的取值范围是.

本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．
2、D
【解析】
每个结论可以通过是否能证伪排除即可．
【详解】
①因为，与相交，所以①错．
②很明显不对，只有当E在中点时才满足条件．
③易得平面平面，而AE平面，所以平面；
④因为平面，而AE平面，所以．
故选D
此题考查空间图像位置关系，一般通过特殊位置排除即可，属于较易题目．
3、C
【解析】
将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，
则由，，得解得，，
所以．故选C．
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.
4、C
【解析】
通过反例可依次排除选项；根据不等式的性质可判断出正确.
【详解】
选项：若，，则，可知错误；
选项：若，，则，可知错误；
选项：
又 ，可知正确；
选项：当时，，可知错误.
本题正确选项：
本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.
5、B
【解析】
利用重心以及向量的三点共线的结论得到的关系式，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
设重心为，因为重心分中线的比为，则有，，则，又因为三点共线，所以，则，取等号时.
故选B.
（1）三角形的重心是三条中线的交点，且重心分中线的比例为；
（2）运用基本不等式时，注意取等号时条件是否成立.
6、B
【解析】
∵，∴.
∴，即，
∴,，故选B.
【考点定位】
向量的坐标运算
7、C
【解析】
试题分析：由题意知，分段间隔为，故选C.
考点：本题考查系统抽样的定义，属于中等题.
8、C
【解析】
连接DF,因为DF与AE平行,所以∠DFD即为异面直线AE与DF所成角的平面角,设正方体的棱长为2,则FD=FD=,由余弦定理得cos ∠DFD==.
9、A
【解析】
本题首先可以根据向量的运算得出，然后根据以及向量平行的相关性质即可得出四边形的形状．
【详解】
因为，所以，
因为，是不共线的非零向量，所以且，
所以四边形是梯形，故选A．
本题考查根据向量的相关性质来判断四边形的形状，考查向量的运算以及向量平行的相关性质，如果一组对边平行且不相等，那么四边形是梯形；如果对边平行且相等，那么四边形是平行四边形；相邻两边长度相等的平行四边形是菱形；相邻两边垂直的平行四边形是矩形，是简单题．
10、D
【解析】
对于选项A,因为，所以，所以 即，所以选项A错误；对于选项B，，所以，选项B错误；对于选项C，，当 时，，当，，故选项C错误；对于选项D，，所以，又，所以，所以，选D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】
由已知条件推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出的值.
【详解】
解：因为数列的前项和为，，且（），
，.
即，.
是首项为，公比为的等比数列，

故答案为：
本题考查数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用，属于中档题.
12、
【解析】
把直线方程化为斜截式，可得它在轴上的截距．
【详解】
解：直线，即，故它在轴上的截距是4，
故答案为：．
本题主要考查直线方程的几种形式，属于基础题．
13、3
【解析】
先由频率之和等于1得出的值，计算身高在，，的频率之比，根据比例得出身高在内的学生中抽取的人数.
【详解】

身高在，，的频率之比为
所以从身高在内的学生中抽取的人数应为
故答案为：
本题主要考查了根据频率分布直方图求参数的值以及分层抽样计算各层总数，属于中档题.
14、或
【解析】
利用换元法令，则对任意的恒成立，再对分两种情况讨论，令求出函数的最小值，即可得答案.
【详解】
令，则对任意的恒成立，
（1）当，即时，上式显然成立；
（2）当，即时，
令
①当时，，显然不成立，故不成立；
②当时，，
∴解得：
综上所述：或.
故答案为：或.
本题考查含绝对值函数的最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分段函数的最值求解.
15、
【解析】
用正弦的二倍角公式展开,得到,分两种情况讨论得出结果.
【详解】
解：
即,
即：或.
①由,,得.
②由,,得或.
综上可得方程,的解集是：

故答案为
本题考查正弦函数的二倍角公式,以及特殊角的正余弦值.
16、
【解析】
根据题意得出，再利用单位向量的定义即可求解.
【详解】
由在轴、轴正方向上的投影分别是、，可得，
所以与同向的单位向量为，
故答案为：
本题考查了向量的坐标表示以及单位向量的定义，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) . (2) ；(3)
【解析】
（1）利用等比数列通项公式以及求和公式化简，得到，由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，利用等差数列的定义可得，化简即可求出，从而得到数列的通项公式．
（2）由（1）可得，利用错位相减，求出数列的前项和即可；
（3）结合（1）可得，利用裂项相消法，即可得到的前项和，求出的最大值，即可解得实数的取值范围
【详解】
（1）由得，所以，
由，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，
得，
即，
即，即，
因为，所以，所以.
（2）由于，所以，
所以，
，
两式相减得，，
所以
（3）由知，
∴
，
∴，
解得或.
即实数的取值范围是
本题考查等比数列通项公式与前项和，等差数列的定义，以及利用错位相减法和裂项相消法求数列的前项和，考查学生的计算能力，有一定综合性．
18、（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
（1）化简集合，按并集的定义，即可求解；
（2）得，结合数轴，确定集合端点位置，即可求解.
【详解】
解：（Ⅰ）集合，
集合，
∴；
（Ⅱ）由，且，
∴，由题意知，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
本题考查集合间的运算，考查集合的关系求参数，属于基础题.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）数列的通项公式，利用，可求公差，然后可求；的通项公式可以利用退位相减法求解；
（Ⅱ）求出代入，利用分离参数法可求实数的取值范围.
【详解】
解：（Ⅰ）∵，∴，
∴，即，
∵，∴，
∴，∴，
又，也成立，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴.
（Ⅱ），
∴对恒成立，
即对恒成立，
令，，
当时，，
当时，，
∴，故，
即的取值范围为.
本题主要考查数列通项公式的求解和参数范围的确定，熟练掌握公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.
20、（1）；（2）当时，在上的投影为；当时，在上的投影为.
【解析】
（1）由已知条件，结合正弦定理，求得，即可求得C的大小；
（2）由已知条件，结合三角形的面积公式及余弦定理，求得的值，再由向量的数量积的运算，即可求解.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理知，
即，
又，所以，
所以，
在中，，所以，
又，所以；
（2）在中，由余弦定理得，
由，即，因此，
所以，解得或，
当时，在上的投影为；
当时，在上的投影为.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
21、（1）,；（2），货车应以千米/时速度行驶，货车应以千米/时速度行驶
【解析】
（1）先计算出从泉州匀速行驶到福州所用时间，然后乘以每小时的运输成本（可变部分加固定部分），由此求得全程运输成本，并根据速度限制求得定义域.
（2）由，，对进行分类讨论.当时，利用基本不等式求得行驶速度.当时，根据的单调性求得行驶速度.
【详解】
（1）依题意一辆货车从泉州匀速行驶到福州所用时间为小时，
全程运输成本为，
所求函数定义域为；
（2）当时，
故有，
当且仅当，即时，等号成立.
当时，
易证在上单调递减
故当千米/时，全程运输成本最小.
综上，为了使全程运输成本最小，，货车应以千米/时速度行驶，
货车应以千米/时速度行驶.
本小题主要考查函数模型在实际生活中的应用，考查基本不等式求最小值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.