江苏省泰州市泰州中学、江都中学、宜兴中学2024-2025学年高一下数学期末学业水平测试试题含解析.doc

江苏省泰州市泰州中学、江都中学、宜兴中学2024-2025学年高一下数学期末学业水平测试试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．10
3．甲箱子里装有个白球和个红球，乙箱子里装有个白球和个红球．从这两个箱子里分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为，摸出的红球的个数为，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
5．己知x与y之间的几组数据如下表：
x
0
1
3
4
y
1
4
6
9
则y与x的线性回归直线必过点（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（ ）
A. B. C. D.
7．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，如果，那么cosC等于 （ ）
A． B． C． D．
9．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在的有60人，则参赛学生的总人数为（ ）

A．100 B．120 C．150 D．200
10．在中，内角，，的对边分别为，，，且=．则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个.
12．若方程表示圆，则实数的取值范围是______.
13．的值为__________.
14．若数列的前项和，满足，则______．
15．在上定义运算，则不等式的解集为_____．
16．已知向量，若，则________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在锐角三角形中，分别是角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M点为圆心的圆及其上一点.

（1）设圆N与y轴相切，与圆M外切，且圆心在直线上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点且，求直线l的方程.
19．已知非零数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若关于的不等式有解，求整数的最小值；
（3）在数列中，是否存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.
20．已知数列中，.
(1)求证：是等比数列，求数列的通项公式；
(2)已知：数列，满足
①求数列的前项和；
②记集合若集合中含有个元素，求实数的取值范围.
21．已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若对,不等式恒成立,求a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】
根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得.
【详解】
依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径, 的中点是球心,
如图:

依题意设 ,则正四棱柱的体积为:,解得,
所以外接球的直径,
所以外接球的半径,则这个球的表面积是.
故选C.
本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题.
2、B
【解析】
试题分析：把圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为半径，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，把代入直线得；即，在直线上，是点与点的距离的平方，因为到直线的距离，所以的最小值为，故选B.
考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.
【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将的最小值转化为点到直线的距离解答的.
3、D
【解析】
可取，；，，，，，故选D.
4、D
【解析】
通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.
【详解】
根据题意，故只需把函数的图象
上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.
本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.
5、A
【解析】
分别求出均值即得．
【详解】
，，因此回归直线必过点．
故选A．
本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点．
6、C
【解析】
试题分析：由于等差数列中也成等差数列，即成等差数列，所以，故选C.
考点：等差数列前项和的性质.
7、A
【解析】
首先求得集合，根据交集定义求得结果.
【详解】

本题正确选项：
本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
8、D
【解析】
解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D
9、C
【解析】
根据频率分布直方图求出得分在的频率，即可得解.
【详解】
根据频率分布直方图可得：
得分在的频率0.35，
得分在的频率0.3，
得分在的频率0.2，
得分在的频率0.1，
所以得分在的频率0.05，
得分在的频率为0.4，有60人，
所以参赛学生的总人数为60÷0.4=150人.
故选：C
此题考查根据频率分布直方图求某组的频率，根据频率分布直方图的特征计算小矩形的面积，根据总面积之和为1计算未知数，结合频率频数计算总人数.
10、C
【解析】
试题分析：由正弦定理得，，由于，
，，故答案为C.
考点：正弦定理的应用.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、16
【解析】
根据红色球和黑色球的频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数.
【详解】
根据概率是频率的稳定值的意义，
红色球的个数为个；
黑色球的个数为个；
故白色球的个数为4个.
故答案为：16.
本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值.
12、.
【解析】
把圆的一般方程化为圆的标准方程，得出表示圆的条件，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，方程可化为，
方程表示圆，则满足，解得．
本题主要考查了圆的一般方程与圆的标准方程的应用，其中熟记圆的一般方程与圆的标准方程的互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础．
13、
【解析】
由反余弦可知，由此可计算出的值.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查正切值的计算，涉及反余弦的应用，求出反余弦值是关键，考查计算能力，属于基础题.
14、
【解析】
令，得出，令，由可计算出在时的表达式，然后就是否符合进行检验，由此可得出.
【详解】
当时，；
当时，则.
也适合.
综上所述，.
故答案为：.
本题考查利用求，一般利用来计算，但需要对进行检验，考查计算能力，属于基础题.
15、
【解析】
根据定义运算，把化简得，求出其解集即可．
【详解】
因为，所以，
即，得，解得：
故答案为：．
本题考查新定义，以及解一元二次不等式，考查运算的能力，属于基础题．
16、
【解析】
直接利用向量平行性质得到答案.
【详解】
，若
故答案为
本题考查了向量平行的性质，属于简单题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】
（1）利用正弦定理边化角，可整理求得，根据三角形为锐角三角形可确定的取值；
（2）利用正弦定理可将转化为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式整理得到，根据的范围可求得正弦型函数的值域，进而得到所求取值范围.
【详解】
（1）由正弦定理得：
为锐角三角形 ，
，即
（2）由正弦定理得：

为锐角三角形，
，即
本题考查正弦定理边化角的应用、边长之和的范围的求解问题；求解边长之和范围问题的关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是在求解三角函数值域时，忽略角的范围限制，造成求解错误.
18、（1）（2）或.
【解析】
（1）根据由圆心在直线y=6上，可设，再由圆N与y轴相切，与圆M外切得到圆N的半径为和得解.
（2）由直线l平行于OA，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，求得圆心M到直线l的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.
【详解】
（1）圆M的标准方程为，所以圆心M（7，6），半径为5,.
由圆N圆心在直线y=6上，可设
因为圆N与y轴相切，与圆M外切
所以，圆N的半径为
从而
解得.
所以圆N的标准方程为.
（2）因为直线l平行于OA，所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为，即
则圆心M到直线l的距离

因为
而
所以
解得 或.
故直线l的方程为或.
本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.
19、（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或.
【解析】
（1）由条件可得，即，再由等比数列的定义即可得证；
（2）由等比数列的通项公式求得，，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；
（3）假设存在首项、第项、第项()，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得，的方程，解方程可得所求值.
【详解】
解：（1）证明：由，
得，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，，则
故，
设，
则
，
所以单调递增，
则，于是，即 ，
故整数的最小值为；
（3）由上面得，，
设，
要使得成等差数列，即，
即，
得，
，
，
故为偶数，为奇数，
或.
本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目.
20、 (1) 证明见解析， (2)①②
【解析】
(1)计算得到： 得证.
(2) ①计算的通项公式为，利用错位相减法得到.
②将代入集合M，化简并分离参数得，确定数列的单调性，根据集合中含有个元素得到答案.
【详解】
(1) ，
为等比数列，其中首项，公比为.
所以，.
(2)①数列的通项公式为
①
②
①-②
化简后得.
②将代入得
化简并分离参数得，
设，则

易知
由于中含有个元素，所以实数要小于等于第5大的数，且比第6大的数大.
，，
综上所述.
本题考查了数列的证明，数列的通项公式，错位相减法，数列的单调性，综合性强计算量大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21、 (1)或;(2)或.
【解析】
（1）代入，把项都移到左边，合并同类项再因式分解，即可得到本题答案；（2）等价于，考虑的图象不在图象的上方，利用数形结合的方法，即可得到本题答案.
【详解】
(1)当时,由得，
即,解得,或，
所以,所求不等式的解集为或；
(2)等价于,所以当时，
的图象在图象的下方，

所以或
所以,,或.
本题主要考查一元二次不等式以及利用数形结合的方法解决不等式的恒成立问题.