广东省东莞市虎门捷胜学校2024-2025学年九年级数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF=（ ）

A． B． C． D．
2．关于抛物线y＝x2﹣6x+9，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．顶点在x轴上
C．对称轴是x＝3 D．x＞3时，y随x增大而减小
3．函数的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且，则 S△ADE：S四边形BCED 的值为（ ）

A．1： B．1：3 C．1：8 D．1：9
5．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，则点B关于原点O的对称点坐标为（　　）

A．（1，﹣） B．（﹣1，） C．（﹣，1） D．（，﹣1）
6．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为1．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为（　　）

A．﹣6 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12
8．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
9．已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是和，那么这两个三角形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
10．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在半径为5的⊙中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是以为腰的等腰三角形时，线段的长为_____．

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是______(结果保留π).

13．如图，一抛物线与轴相交于，两点，其顶点在折线段上移动，已知点，，的坐标分别为，，，若点横坐标的最小值为0，则点横坐标的最大值为______.

14．若如果x：y=3：1，那么x：（x-y）的值为_______.
15．如图，已知一次函数y=kx﹣3（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=（x＞0）交于C点，且AB=AC，则k的值为_____．

16．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．

17．若，则的值为__________．
18．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：；
（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证MN2=DM·EN．

20．（6分）已知二次函数y＝ax²＋bx－4(a，b是常数.且a0)的图象过点(3，－1).
(1)试判断点(2，2－2a)是否也在该函数的图象上，并说明理由.
(2)若该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求该函数表达式.
(3)已知二次函数的图像过(，)和(，)两点，且当＜时，始终都有＞，求a的取值范围.
21．（6分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）两辆车中恰有一辆车向左转；
（2）两辆车行驶方向相同．
22．（8分）在中，是边上的中线，点在射线上，过点作交的延长线于点．
（1）如图1，点在边上，与交于点证明：；

（2）如图2，点在的延长线上，与交于点．

①求的值；
②若，求的值
23．（8分）如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．

（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
24．（8分）某便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能够售出240件．经过调查发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售20件;如果每件降价1元，那么每天能够多售出40件．
（1）如果降价，那么每件要降价多少元才能使销售盈利达到1960元?
（2）如果涨价，那么每件要涨价多少元オ能使销售盈利达到1980元?
25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b（k≠0）与双曲线一个交点为P（2，m），与x轴、y轴分别交于点A，B两点．
（1）求m的值；
（2）求△ABO的面积；
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3），请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于y轴对称图形△A2B2C2，则△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是　 　．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF
再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º
可得∠ADE=∠BFD，又因∠A=∠B=60º，
根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF
所以，
设AD=a，BD=2a，AB=BC=CA=3a，
再设CE==DE=x，CF==DF=y，则AE=3a-x，BF=3a-y，
所以
整理可得ay=3ax-xy，2ax=3ay-xy，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；
把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax，所以5ax=4ay，，
即
故选B．
本题考查相似三角形的判定及性质．
2、D
【分析】直接利用二次函数的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：，
则a=1＞0，开口向上，顶点坐标为：（3，0），对称轴是x=3，
故选项A，B，C都正确，不合题意；
x＞3时，y随x增大而增大，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
3、B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵函数，
∴该函数的顶点坐标是，
故选：B．
本题主要考查二次函数的图像，关键是根据二次函数的顶点式直接得到顶点坐标即可．
4、C
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，继而求得S△ADE：S四边形BCED的值．
【详解】∵，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE:S△ABC＝1:9，
∴S△ADE:S四边形BCED＝1:8，
故选C.
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
5、D
【分析】根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接OB，

∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝6，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH＝OB＝1，OH＝OB＝，
∴B（﹣，1），
∴点B关于原点O的对称点坐标为（，﹣1）．
故选：D．
本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的相关知识，解决本题的关键是熟练掌握正六边形的性质，能够得到相应角的度数.
6、C
【解析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接OD，
在Rt△OCD中，OC＝OD＝2，
∴∠ODC＝30°，CD＝
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝ ，
故选：C．

本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．
7、D
【分析】先设D（a，b），得出CO=-a，CD=AB=b，k=ab，再根据△BCE的面积是6，得出BC×OE=12，最后根据AB∥OE，BC•EO=AB•CO，求得ab的值即可．
【详解】设D（a，b），则CO=﹣a，CD=AB=b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴k=ab，
∵△BCE的面积是6，
∴×BC×OE=6，即BC×OE=12，
∵AB∥OE，
∴，即BC•EO=AB•CO，
∴12=b×（﹣a），即ab=﹣12，
∴k=﹣12，
故选D．

考点：反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平行线分线段成比例；数形结合．
8、C
【解析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．
【详解】随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：

至少有一次正面朝上的概率是．
故选C．
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9、B
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可得出结论.
【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比
∴ 相似比=
故选B
此题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，熟记相关性质是解题的关键.
10、C
【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、8或
【解析】根据题意，以为腰的等腰三角形有两种情况，当AB=AP时，利用垂径定理及相似三角形的性质列出比例关系求解即可，当AB=BP时，通过角度运算，得出BC=AB=8即可．
【详解】解：①当AB=AP时，如图，连接OA、OB，延长AO交BP于点G，故AG⊥BP， 过点O作OH⊥AB于点H，
∵在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
由垂径定理可知，
∴，
在Rt△OAH中，
在Rt△CAP中， ，且
∴，
在Rt△PAG与Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，
∴Rt△PAG∽Rt△PCA
∴ ，则，
∴；

②当AB=BP时，如下图所示，∠BAP=∠BPA，
∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，
∴BC=AB=8
故答案为8或
本题考查了圆的性质及圆周角定理、相似三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．
12、12﹣π
【分析】用矩形的面积减去四分之一圆的面积即可求得阴影部分的面积.
【详解】解：在矩形中，，

故答案为：.
本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键．
13、7
【分析】当点横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C点，据此可求出抛物线的a值，再根据点横坐标的最大值时，顶点在E点，求出此时的抛物线即可求解.
【详解】当点横坐标的最小值为0时，抛物线顶点在C点，
设该抛物线的解析式为：y=a(x+2)2+8,代入点B（0,0）
得：0= a(x+2)2+8，
则a=−2，
即：B点横坐标取最小值时,抛物线的解析式为：y= -2(x+2)2+8.
当A点横坐标取最大值时,抛物线顶点应取E,
则此时抛物线的解析式：y=-2 (x−8)2+2，
令y=0，解得x1=7,x2=9
∴点A的横坐标的最大值为7.
故答案为7.
此题主要考查二次函数的平移问题，解题的关键是熟知待定系数法求解解析式.
14、
【分析】根据x：y=3：1，则可设x=3a，y=a，即可计算x：（x-y）的值．
【详解】解：设x=3a，y=a，
则x：（x-y）=3a：(3a-a)=，
故答案为：．
本题考查了比的性质，解题的关键是根据已有比例关系，设出x、y的值．
15、k=
【解析】试题分析：如图：作CD⊥x轴于D，则OB∥CD，∴△AOB∽△ADC，
∴，∵AB=AC，∴OB=CD，
由直线y=kx﹣3（k≠0）可知B（0，﹣3），∴OB=3，∴CD=3，
把y=3代入y=（x＞0）解得，x=4，∴C（4，3），
代入y=kx﹣3（k≠0）得，3=4k﹣3，解得k=，
故答案为．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
16、2π
【解析】试题分析：如图，

∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=．
考点：圆锥的计算．
17、
【分析】直接利用已知得出，代入进而得出答案．
【详解】∵
∴
∴==
故填：.
此题主要考查了比例的性质，正确运用已知变形是解题关键．
18、
【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到，即可得到答案.
【详解】解：如图，

∵EF是梯形的比例中线，
∴，
∴，
∵AD//BC，
∴梯形ADFE相似与梯形EFCB，
∴；
故答案为：.
本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质.

三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）①；②证明见解析．
【分析】（1）易证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长．从而，由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高，△AGF的GF边上高，GF=，根据 MN：GF等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根据（1），从而得出结论．
【详解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴，
同理在△ACQ和△APE中，，
∴；
（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC
∴AD：AB=1：3，
∴AD=，DE=，
∵DE边上的高为，MN：GF=：，
∴MN：=：，
∴MN=．
故答案为：．

②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF•BG，
由（1）得，
∴，
∴，
∵GF2=CF•BG，
∴MN2=DM•EN．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．
20、（1）不在；（2）；；（3）
【解析】（1）将点代入函数解析式，求出a和b的等式，将函数解析式改写成只含有a的形式，再将点代入验证即可；
（2）令，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a的值，从而可得函数表达式；
（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.
【详解】（1）二次函数图像过点
代入得，
，代入得
将代入得，得，不成立，所以点不在该函数图像上；
（2）由（1）知，
与x轴只有一个交点
只有一个实数根
，或
当时，，所以表达式为：
当时，，所以表达式为：；
（3）
对称轴为
当时，函数图象如下：

若要满足时，恒大于，则、均在对称轴左侧
，
当时，函数图象如下：

，此时，必小于
综上，所求的a的取值范围是：.
本题考查了二次函数图象的性质（与x的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.
21、（1）；（2）
【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：

左
直
右
左
左左
左直
左右
直
左直
直直
直右
右
左右
直右
右右
共有9种等可能结果，其中，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况；两辆车行驶方向相同有3种情况
（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=；
（2）P（两辆车行驶方向相同）=．
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（1）证明见解析；（2）①；②1．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）①设，则，，先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得；
②先求出，再在中，利用勾股定理可得，然后根据①中三角形全等的性质可得，最后根据①中相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）

；
①设，则，

是边上的中线

在和中，

；
②

在中，
由①已证：

由①已证：

．
本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
23、（1）见解析；（2）AD＝2．
【分析】（1）作OE⊥AB，先由∠AOD=∠BAD求得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE得OE＝OC，依据切线的判定可得；
（2）先求得∠EOA＝∠ABC，在Rt△ABC中求得AC=8，AB=10，由切线长定理知BE=BC=6，AE=4，OE=3，继而得BO=3，根据相似三角形的性质即可得出结论.
【详解】解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，

∵O为∠MBN角平分线上一点，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，
∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，
∴∠BCO＝∠D＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠OAD，
∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，
在△BOC和△BOE中，
∵，
∴△BOC≌△BOE（AAS），
∴OE＝OC，
∵OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EOA+∠BAC＝90°，
∴∠EOA＝∠ABC，
∵tan∠ABC＝、BC＝6，
∴AC＝BC•tan∠ABC＝8，
则AB＝10，
由（1）知BE＝BC＝6，
∴AE＝4，
∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，
∴，
∴OE＝3，OB＝＝3，
∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ABD∽△OBC，
∴，即，
∴AD＝2．
故答案为：AD＝2．
本题主要考查了切线的判定与性质. 解题的关键是掌握切线的判定，切线长定理，全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用.
24、（1）每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元；（2）每件要涨价1元或3元オ能使销售盈利达到1980元．
【分析】（1）设每件要降价x元，根据盈利=每件的利润×销售量即可列出关于x的方程，解方程即可求出结果；
（2）设每件要涨价y元，根据盈利=每件的利润×销售量即可列出关于y的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：（1）设每件要降价x元，根据题意，得，
解得：，
答：每件要降价1元才能使销售盈利达到1960元．
（2）每件要涨价y元，根据题意，得，
解得：，
答：每件要涨价1元或3元オ能使销售盈利达到1980元．
本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
25、（1）m=4,（1）△ABO的面积为1．
【分析】（1）将点P的坐标代入双曲线即可求得m的值；
（1）将点P代入直线，先求出直线的解析式，进而得出点A、B的坐标，从而得出△ABO的面积．
【详解】（1）∵点P(1，m)在双曲线上
∴m=
解得：m=4
（1）∴P(1，4)，代入直线得：
4=1+b，解得：b=1，故直线解析式为y=x+1
A，B两点时直线与坐标轴交点，图形如下：

则A(－1，0)，B(0，1)
∴．
本题考查一次函数与反比例函数的综合，注意提干中告知点P是双曲线与直线的交点，即代表点P即在双曲线上，也在直线上．
26、（1）作图见解析；（2）关于x轴对称．
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到关于原点的中心对称图形△；
（2）依据轴对称的性质，即可得到△，进而根据图形位置得出△与△的位置关系．
【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，
△A2B2C2与△A1B1C1的位置关系是关于x轴对称．
故答案为：关于x轴对称．
本题主要考查了利用旋转变换以及轴对称变换作图，掌握轴对称性的性质以及中心对称的性质是解决问题的关键．