合肥市蜀山区2024-2025学年九上数学期末考试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．从一组数据1，2，2，3中任意取走一个数，剩下三个数不变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE＝110°，则∠B＝（　　）

A．80° B．100° C．110° D．120°
3．已知点A（，m），B （ l，m），C （2，1）在同一条抛物线上，则下列各点中一定在这条抛物线上的是（  ）
A． B． C． D．
4．已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )

A．△AFD≌△DCE B．AF＝AD
C．AB＝AF D．BE＝AD﹣DF
6．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的结论的个数有（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ 　）.
A． B．
C． D．
8．在一个有 10 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中有 120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目的概率大约是（　　）
A． B． C． D．
9．已知在中，，，那么下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若点P（﹣m，﹣3）在第四象限，则m满足（　　）
A．m＞3 B．0＜m≤3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3
11．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝60°，则∠AOB的度数是（ ）

A．30° B．60° C．120° D．150°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行______才能停下来.
14．（2016广东省茂名市）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（，1），则点A8的横坐标是__________．

15．若方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程，则a的值是_____.
16．要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
17．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k=0的两个根，则k的值是________．
18．将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则＝_________.（结果保留根号）

三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，
（1）求证：△ABC∽△ACD
（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．

20．（8分）（1）如图，已知AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆⊙O．判断CD与小圆⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知⊙O，线段MN，P是⊙O外一点．求作射线PQ，使PQ被⊙O截得的弦长等于MN．
（不写作法，但保留作图痕迹）

21．（8分）在一次篮球拓展课上，，，三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：每一次传球由三人中的一位将球随机地传给另外两人中的某一人．例如：第一次由传球，则将球随机地传给，两人中的某一人．
（1）若第一次由传球，求两次传球后，球恰好回到手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）
（2）从，，三人中随机选择一人开始进行传球，求两次传球后，球恰好在手中的概率．（要求用画树状图法或列表法）
22．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度，小明同学先在操场上处放一面镜子，向后退到处，恰好在镜子中看到楼的顶部；再将镜子放到处，然后后退到处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部（在同一条直线上），测得，如果小明眼睛距地面高度，为，试确定楼的高度．

23．（10分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．

（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；
（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．
①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；
②求AM、MN的长；
（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．
25．（12分）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD=∠C，求证：AB2=AD•AC．

26．已知：反比例函数和一次函数，且一次函数的图象经过点．
（1）试求反比例函数的解析式；
（2）若点在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点的坐标．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【详解】原来这组数据的中位数为＝2，
无论去掉哪个数据，剩余三个数的中位数仍然是2，
故选：C．
此题考查数据平均数、众数、中位数方差的计算方法，掌握正确的计算方法才能解答.
2、C
【分析】直接利用圆内接四边形的性质分析得出答案．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，∠ADE＝110°，
∴∠B＝∠ADE＝110°．故选：C．
本题考查圆内接四边形的性质. 熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；.圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.
3、B
【分析】根据抛物线的对称性进行分析作答．
【详解】由点A（，m），B （ l，m），可得：抛物线的对称轴为y轴，
∵C （2，1），
∴点C关于y轴的对称点为（－2，1），
故选：B．
本题考查二次函数的图象和性质，找到抛物线的对称轴是本题的关键．
4、A
【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选A．
5、B
【解析】A．由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故A正确；
B．∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故B错误；
C．由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故C正确；
D．由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故D正确；
故选B．
6、C
【分析】根据抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，以及抛物线与坐标轴的交点，结合图象即可作出判断．
【详解】解：由题意得：a＜0，c＞0，=1＞0，
∴b＞0，即abc＜0，选项①错误；
-b=2a，即2a+b=0，选项②正确；
当x=1时，y=a+b+c为最大值，
则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即当m≠1时，a+b＞am2+bm，选项③正确；
由图象知，当x=-1时，ax2+bx+c=a-b+c＜0，选项④错误；
∵ax12+bx1=ax22+bx2，
∴ax12-ax22+bx1-bx2=0，（x1-x2）[a（x1+x2）+b]=0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b=0，
∴x1+x2=，所以⑤正确．
所以②③⑤正确，共3项，
故选：C．
此题考查了二次函数图象与系数的关系，解本题的关键二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7、B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8、C
【解析】试题解析：由题意知：1000人中有120人看中央电视台的早间新闻，
∴在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约是．
故选C．
【点睛】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9、A
【分析】利用同角三角函数的关系解答．
【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，，则cosA=
A、cosB=sinA=，故本选项符合题意．
B、cotA= ．故本选项不符合题意．
C、tanA= ．故本选项不符合题意．
D、cotB=tanA= ．故本选项不符合题意．
故选：A．
此题考查同角三角函数关系，解题关键在于掌握（1）平方关系：sin2A+cos2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比.
10、C
【分析】根据第四象限内点的特点，横坐标是正数，列出不等式求解即可．
【详解】解：根据第四象限的点的横坐标是正数，可得﹣m＞1，解得m＜1．
故选：C．
本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号，关键是掌握四个象限内点的坐标符号．
11、C
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为1．
【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△=b2-4ac≥1，
即：1+3k≥1，
解得：，
∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=1中k≠1，
故选：C．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
12、C
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
故选：C．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、200
【分析】要求飞机从滑行到停止的路程就，即求出函数的最大值即可.
【详解】解：
所以当t=20时，该函数有最大值200.
故答案为200.
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法，即公式法或配方法是解题关键.
14、．
【解析】试题分析：由题意点A2的横坐标（+1），点A4的横坐标3（+1），点A6的横坐标（+1），
点A8的横坐标6（+1）．

考点：（1）坐标与图形变化-旋转；（2）一次函数图象与几何变换
15、-3
【分析】根据一元二次方程的定义列方程求出a的值即可.
【详解】∵方程(a-3)x|a|-1+2x-8=0是关于x的一元二次方程，
∴-1=2，且a-3≠0，
解得：a=-3，
故答案为：-3
本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程；一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，熟练掌握定义是解题关键，注意a≠0的隐含条件，不要漏解.
16、x≥1
【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．
【详解】由题意知，，
解得，x≥1，
故答案为：x≥1．
本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
17、32
【解析】分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑．①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程可求出k的值，再利用分解因式法解一元二次方程可求出等腰三角形的底，由三角形的三边关系可确定此情况不存在；②当3为等腰三角形的底时，由方程的系数结合根的判别式可得出△＝144﹣4k＝0，解之即可得出k值，进而可求出方程的解，再利用三角形的三边关系确定此种情况符合题意．此题得解．
【详解】①当3为等腰三角形的腰时，将x＝3代入原方程得1﹣12×3+k＝0，解得：k＝27，此时原方程为x2﹣12x+27＝0，即（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得：x1＝3，x2＝1．
∵3+3＝2＜1，∴3不能为等腰三角形的腰；
②当3为等腰三角形的底时，方程x2﹣12x+k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣12）2﹣4k＝144﹣4k＝0，解得：k＝32，此时x1＝x22．
∵3、2、2可以围成等腰三角形，∴k＝32．
故答案为32．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法、根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分3为等腰三角形的腰与3为等腰三角形的底两种情况考虑是解题的关键．
18、
【分析】先根据正方形的性质得到CD=1，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得CF=，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．
【详解】∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=1，∠CDA=90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF=，∠CFDE=45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH=DF=CF-CD=-1．
故答案为-1．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．

三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据∠ABC=∠ACD，∠A=∠A即可证明,
（2）由上一问列出比例式,代入求值即可.
【详解】证明：
（1）∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A

∴△ABC∽△ACD
（2）解：△ABC∽△ACD
∴
∵AD=2, AB=5
∴
∴AC=
本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,列比例式是解题关键.
20、（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得∠AMO=∠ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM≌△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求.
【详解】解：（1）过点O作ON⊥CD，连接OA，OC

∵AB、CD是大圆⊙O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON⊥CD
∴∠AMO=∠ONC=90°，AM=,CN，
∴AM=CN
又∵OA=OC
∴△AOM≌△CON
∴ON=OM
∴CD与小圆O相切
（2）如图FH即为所求

本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.
21、（1），树状图见解析；（2），树状图见解析
【分析】（1）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．
（2）用树状图表示所有可能情况，找出符合条件的情况，求出概率即可．
【详解】解：（1）画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在手中的只有2种情况，
∴两次传球后，球恰在手中的概率为．
（2）根据题意画树状图如下：

∴共有12种等可能的结果，第二次传球后，球恰好在手中的有4种情况，
∴第二次传球后，球恰好在手中的概率是．
【分析】本题主要考查了树状图求概率的方法，正确掌握树状图求概率的方法是解题的关键．
22、32米
【分析】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，先根据镜面反射的基本性质，得出，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】设关于的对称点为，根据光线的反射可知，延长、相交于点，连接并延长交于点，

由题意可知且、
∴
∴
∴
即：
∴
∴
答：楼的高度为米.
本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.
23、（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元．
【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【详解】（1）y=w（x﹣20）
=（﹣2x+80）（x﹣20）
=﹣2x2+120x﹣1600；
（2）y=﹣2（x﹣30）2+1．
∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=1．
答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元．
本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．
24、（1）；（2）①菱形，理由见解析；②AM=，MN＝；（3）1．
【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．
（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得＝，由此构建方程求出x，解直角三角形求出OM即可解决问题．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．想办法求出NH，CM，利用相似三角形，确定比例关系，构建方程解决问题即可．
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝，
∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，
∴△ANM∽△ACB，
∴＝，
∵AN＝AC
∴＝，
∴AM＝．

（2）①如图2中，
∵NA′∥AC，
∴∠AMN＝∠MNA′，
由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，
∴∠MNA′＝∠A′MN，
∴A′N＝A′M，
∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，
∴四边形AMA′N是平行四边形，
∵MA＝MA′，
∴四边形AMA′N是菱形．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，
∵MA′∥AB，
∴
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴AM＝
∴CM＝，
∴CA′＝＝＝，
∴AA′＝＝＝，
∵四边形AMA′N是菱形，
∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，
∴OM＝＝＝，
∴MN＝2OM＝．

（3）如图3中，作NH⊥BC于H．
∵NH∥AC，
∴△ABC∽△NBH
∴＝＝
∴＝＝
∴NH＝，BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，
∴AM＝AC＝，
∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，
∵CM∥NH，
∴△CPM∽△HPN
∴＝，
∴＝，
∴PC＝1．

本题考查了相似三角形的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点．
25、证明见解析.
【解析】试题分析：利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出 ，整理得出答案即可．
试题解析：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AB2=AD•AC．
考点：相似三角形的判定与性质．
26、（1）；（2）．
【分析】（1）将点代入中即可求出k的值，求得反比例函数的解析式；
（2）根据题意列出方程组，根据点在第一象限解出方程组即可．
【详解】（1）一次函数的图象经过点

反比例函数的解析式为
（2）由已知可得方程组
，
解得或
经检验，当或时，，所以方程组的解为或
∵点在第一象限
∴

本题考查了一次函数和反比例函数的问题，掌握一次函数和反比例函数的性质、解二元一次方程组的方法是解题的关键．