第七章-函数矩阵与矩阵微分方程名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

,北京理工大学高数教研室,*,第一章 第一节 函数,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第一章 第一节 函数,北京理工大学高数教研室,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,第七章 函数矩阵与矩阵微分方程,函数矩阵,定义：,以实变量 函数为元素矩阵,第1页,称为函数矩阵，其中全部元素,都是定义在闭区间 上实函数。,函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几个运算，而且运算法则完全相同。,例：,已知,第2页,计算,定义：,设 为一个 阶函数矩阵，假如存在 阶函数矩阵 使得对于任何,都有,那么我们称 在区间 是,可逆,。,第3页,称 是 逆矩阵，普通记为,例：,已知,那么 在区间 上是可逆，其逆为,第4页,函数矩阵可逆充分必要条件,定理,:,阶矩阵 在区间 上可逆充分必要条件是 在 上处处不为零，而且,其中 为矩阵 伴随矩阵。,定义：,区间 上 型矩阵函数不恒等于零子式最高阶数称为,秩,。,第5页,尤其地，设 为区间 上 阶矩阵函数，假如 秩为 ，则称 一个,满秩矩阵,。,注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价。即：可逆一定是满秩，不过满秩却不一定是可逆。,例,：,已知,第6页,那么 。于是 在任何区间,上秩都是,2,。即 是满秩。不过 在 上是否可逆，完全依赖于,取值。当区间 包含有原点时，在 上有零点，从而 是不可逆。,函数矩阵对纯量导数和积分,定义：,假如 全部各元素 在 处有极限，即,第7页,其中 为固定常数。则称 在 处有,极限,，且记为,其中,第8页,假如 各元素 在 处连续，即,则称 在 处,连续,，且记为,其中,第9页,轻易验证下面等式是成立：,设,则,第10页,定义,：,假如 全部各元素,在点 处,(,或在区间 上,),可导，便称此函数矩阵,在点 处,(,或在区间 上,),可导,，而且记为,第11页,第12页,函数矩阵导数运算有以下性质：,是常数矩阵充分必要条件是,设,均可导，则,第13页,设 是 纯量函数，是函数矩,阵，与 均可导，则,尤其地，当 是常数 时有,第14页,(4),设 均可导，且 与 是可乘，则,因为矩阵没有交换律，所以,第15页,(5),假如 与 均可导，则,(6),设 为矩阵函数，是 纯量函数，与 均可导，则,第16页,定义：,假如函数矩阵 全部各元素,在 上可积，则称 在 上,可积,，且,第17页,函数矩阵定积分含有以下性质：,例,1,：,已知函数矩阵,试计算,第18页,证实：,第19页,因为 ，所以,下面求 。由伴随矩阵公式可得,第20页,再求,第21页,例,2,：,已知函数矩阵,第22页,试求,例,3,：,已知函数矩阵,试求,证实：,第23页,一样能够求得,第24页,例,4,：,已知函数矩阵,试计算,第25页,函数向量线性相关性,定义,：,设有定义在区间 上 个连续函数向量,假如存在一组不全为零常实数,使得对于全部 等式,成立，我们称，在 上,线性相关,。,第26页,不然就说 线性无关。即假如只有在 等式才成立，那么就说,线性无关。,定义,：,设 是 个定义在区间 上连续函数向量,记,第27页,以 为元素常数矩阵,称为,Gram,矩阵，,称为,Gram,行列式,。,定理,：,定义在区间 上连续函数向量,线性无关充要条件是它,Gram,矩阵为满秩矩阵。,第28页,例,：,设,则,于是,Gram,矩阵为,第29页,所以,故当 时，在 上是线性无关。,第30页,定义：,设,是 个定义在区间 上,有 阶导数函数向量，记,那么称矩阵,第31页,第32页,是,Wronski,矩阵。,其中 分别是,一阶，二阶，,，阶导数矩阵。,定理：,设 是,Wronski,矩阵。假如在区间 上某个点,，常数矩阵 秩等于 ，则向量 在 上线性无关。,第33页,例,：,设,则,因为 秩为,2,，所以 与 线性无关。,第34页,函数矩阵在微分方程中应用,形如,第35页,线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后能够表示成以下形式,其中,第36页,第37页,上述方程组初始条件为,能够表示成,定理：,设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组,满足初始条件 解为,第38页,定理：,设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组,满足初始条件 解为,例,1,：,设,第39页,求微分方程组 满足初始条,件 解。,解：,首先计算出矩阵函数,第40页,由前面定理可知微分方程组,满足初始条件 解为,第41页,例,2,：,设,求微分方程组 满足初始,条件 解。,解：,由上述定理可知满足所给初始条件微分方程组解为,第42页,由上面例题可知,而,第43页,所以有,第44页,故有,第45页,