理论力学第三章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 空间力系,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。,(,a,),图为空间汇交力系；,(,b,),图为空间任意力系；,(,b,),图中去了风力为空间平行力系。,迎 面风 力,侧 面风 力,第三章 空间力系,31,空间汇交力系,32,力对点的矩与力对轴的矩,33,空间力偶,34,空间任意力系向一点的简化,35,空间任意力系的平衡方程,36,重心,习题课,概念,一、力在空间轴上的投影与分解,：,1.,力在空间的表示,：,力的三要素：,大小、方向、作用点,(,线,),大小：,作用点,：,在物体的哪点就是哪点,方向,：,由,、,g,三个方向角确定,由仰角,与俯角,来确定。,b,g,q,F,xy,O,4-1,空间汇交力系,2,、一次投影法（直接投影法）,由图可知：,3,、二次投影法（间接投影法）,当力与各轴正向夹角不易,确定时，可先将,F,投影到,xy,面上，然后再投影到,x,、,y,轴上，,即,4,、力沿坐标轴分解,：,若以 表示力沿直角,坐标轴的正交分量，则：,而：,F,x,F,y,F,z,1,、几何法,：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多,边形方法求合力。,即：合力等于各分力的矢量和,2,、解析法,：,由于 代入上式,合力,为合力在,x,轴的投影，,二、空间汇交力系的合成,：,3,、合力投影定理,：,空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,三、空间汇交力系的平衡：,称为平衡方程,空间汇交力系的平衡方程,解析法,平衡充要条件为：,几何法,平衡充要条件为该力系的,力多边形封闭,。,空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：,在平面中：力对点的矩是代数量。,在空间中：力对点的矩是矢量。,例,汽车反镜的球铰链,4-2,力对点的矩与力对轴的矩,一、力对点的矩的矢量表示,如果,r,表示,A,点的矢径，则：,即：,力对点的矩等于矩心到该力,作用点的矢径与该力的矢量积。,两矢量夹角为,O,定义：,它是代数量，方向规定,+,二、力对轴的矩,结论,：,力对,/,它的轴的矩为零。即力,F,与轴共面时，力对轴之矩为零。,证,力对,/,它的轴的矩为零。即力,F,与轴共面时，力对轴之矩为零。,即：,证,通过,O,点作任一轴,Z,，,则：,由几何关系：,所以：,三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系,定理,：,力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。,又由于,所以力对点,O,的矩为：,4-3,空间力偶,由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。,一、力偶矩用矢量表示：,力偶的转向为右手螺旋定则。,从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。,空间力偶是一个自由矢量。,证,作,II/,，,cd/ab,作一对平衡力,R,R,(,在,E,点,且,使,-,R=R,),由反向平行力合成得：,F,1,与,R,合成得,F,2,，,作用在,d,点,F,1,与,R,合成得,F,2,，,作用在,c,点,且,R-F,1,=F,2,，,R-,F,1,=F,2,在,I,内的力偶（,F,1,，,F,1,）,等效变成,II,内的（,F,2,，,F,2,）,二、空间力偶的等效定理,作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,由此可得出，,空间力偶矩是自由矢量,，它有三个要素：,力偶矩的大小,=,力偶矩的方向,与力偶作用面法线方向相同,转向,遵循右手螺旋规则。,三、空间力偶系的合成与平衡,由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。合力偶矩,=,分力偶矩的矢量和,投影式,为：,显然空间力偶系的平衡条件是：,把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。,4-4,空间一般力系向一点简化,主矢和主矩,设作用在刚体上有,空间一般力系,向,O,点简化（,O,点任选）,根据力线平移定理，将各力平行搬到,O,点得到一空间汇交力系：和附加力偶系,注意,分别是各力对,O,点的矩。,由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于,O,点。,合成 得主矢,即（主矢 过简化中心,O,，,且与,O,点的选择无关）,合成 得主矩,即：,(,主矩 与简化中心,O,有关,),若取,简化中心,O,点为坐标原点，则：,主矢大小,主矢方向,根据力对点之矩与力对轴之矩的关系,:,则,主矩大小,为：,主矩方向,：,空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,1,、,若,则该力系,平衡,（下节专门讨论）。,2,、若 则力系可合成一个,合力偶,，其矩等于原力系对于简化中心的主矩,M,O,。,此时主矩与简化中心的位置无关。,3,、,若 则力系可合成为一个,合力,，主矢 等于原力系合力矢,，,合力通过简化中心,O,点。,（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,4,、,若 此时分两种情况讨论。即：,由于做,若时,可进一步简化，将,M,O,变成,(,R,R,),使,R,与,R,抵消只剩下,R,。,若 时，,为力螺旋的情形,（新概念，又移动又转动）,例,拧螺丝,炮弹出膛时炮弹螺线,M,使主矢,R,搬家，搬家的矩离：,所以在,O,点处形成一个力螺旋,。,因为,M,/,是自由矢量，,可将,M,/,搬到,O,处,M,/,不变，,R,不平行也不垂直,M,0,，,最一般的成任意角,在此种情况下，首先把,M,O,分解为,M,/,和,M,将,M,/,和,M,分别按、处理。,注意,力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：,R,，,M,/,简化中心为,O,时：为,M,当简化中心为,O,时，为,M,但,M,/,总是不变的（,它是,原力系中的力偶与简化,中心无关,）,空间力系向,O,点简化后得主矢,R,和主矩,M,O,若,M,O,R,，,可进一步合成为一个,作用在新简化中心,O,点的,合力,R,。,空间力系的合力矩定理,：,一、空间任意力系的平衡充要条件是：,所以,空间任意力系的平衡方程,为：,还有四矩式，五矩式和六矩式，,同时各有一定限制条件。,4-5,空间一般力系的平衡方程,空间汇交力系的平衡方程为：,因为各力线都汇交于一点，各轴都通过,该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,空间平行力系的平衡方程，设各力线都,/,z,轴。,因为,均成为了恒等式。,1,、球形铰链,二、空间约束,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。,例,球形铰链,2,、向心轴承，蝶铰链，滚珠,(,柱,),轴承,3,、滑动轴承,4,、止推轴承,5,、带有销子的夹板,6,、空间固定端,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点,C,就是此,空间平行力系的中心,。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。,4-6,重心,一、空间平行力系的中心、物体的重心,1,、平行力系的中心,由合力矩定理：,如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，,(,n,-,),，,常用积分法求物体的重心位置。,二、重心坐标公式,：,设,i,表示第,i,个小部分每单位体积的重量,，,V,i,第,i,个小体积，则,代入上式并取极限，可得：,式中 ，上式为,重心,C,坐标的精确公式,。,对于均质物体，,=,恒量，上式成为：,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与,y,轴平行，再应用合力矩定理对,x,轴取矩得：,综合上述得,重心坐标公式,为：,若以,P,i,=,m,i,g,P,=,Mg,代入上式可得质心公式,同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：,解,：由于对称关系，该圆弧重心必在,Ox,轴，即,y,C,=0,。,取微段,下面用积分法,求物体的重心实例,：,例,求半径为,R,，,顶角为,2,的均质圆弧的重心。,O,三、重心的求法,：,组合法,解,：,求：该组合体的重心？,已知：,简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。,实验法：,悬挂法,称重法,例,已知,:,R,C,=100mm,R,D,=50mm,P,x,=466N,P,y,=352N,P,z,=1400N,求：平衡时,(,匀速转动,),力,Q,=,？,(,Q,力作用在,C,轮的最低点）,和轴承,A,B,的约束反力？,解,：,选研究对象,作受力图,选坐标列方程,最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。,方法,(,二,):,将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解,。,一、概念及内容,：,1,、空间力偶及空间力对点之矩是矢量，,2,、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。,3,、空间力系,合力投影定理,：,4,、空间力系的,合力矩定理,：,5,、,空间力对点之矩与对轴之矩的关系,：,第三章,空间力系,习题课,二、基本方程,1,、,空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间,x,轴力,系,空间,xoy,面的,力,系,四矩式,、五矩式和六矩式的附加条件均,为使方程式独立。,三、解题步骤、技巧与注意问题,：,1,、,解题步骤,：,选研究对象,(,与平面的相同,),画受力图,选坐标、列方程,解方程、求出未知数,2,、空间力系的几个问题,：,x,y,z,(,三个取矩轴和三个投影轴可以不重合,),可以任选的,六个轴。,取矩方程不能少于三个（,M,O,是矢量）,空间力系独立方程六个（,空间物体六个自由度）,平面三个自由度,空间力系中也包括摩擦问题。,2,、,解题技巧,：,用取矩轴代替投影轴，解题常常方便,投影轴尽量选在与未知力,，力矩轴选在与未知力平行或相交,一般从整体,局部的研究方法。,摩擦力,F,=,N f,，,方向与运动趋势方向相反。,3,、,注意问题：,力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现）,空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。,求物体重心问题常用组合法。,对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。,例,1,已知,:,P,=2000N,C,点在,Oxy,平面内,求：力,P,对三个坐标轴的矩,解,：,选研究对象；,画受力图；,选坐标列方程。,例,2,已知：,AB,=3m,AE,=,AF,=4m,Q,=20kN;,求,:,绳,BE,、,BF,的拉力和杆,AB,的内力,由,C,点：,解：分别研究,C,点和,B,点作受力图,由,B,点：,此题训练：,力偶不出现在投影式中,力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影,力争一个方程求一个支反力,了解空间支座反力,例,3,曲杆,ABCD,ABC,=,BCD,=90,0,AB=a,BC=b,CD=c,m,2,m,3,求：支座反力及,m,1,=?,解,：,例,4,已知：,AB,杆,AD,CB,为绳,A,、,C,在同一垂线上，,AB,重,80N,，,A,、,B,光滑接触，,ABC,=,BCE,=60,0,且,AD,水平，,AC,铅直。求平衡时，,T,A,，,T,B,及支座,A,、,B,的反力。,解：,思路：要巧选投影轴和取矩轴，使一个方程解出一个未知数。,