数列全部题型归纳(非常全面-经典).doc

数列百通
通项公式求法 (一)转化为等差与等比
1、已知数列满足，（２≤≤８），则它的通项公式什么

2.已知是首项为2的数列，并且，则它的通项公式是什么

3.首项为2的数列，并且，则它的通项公式是什么

4、已知数列中，，，.
求证：是等差数列；并求数列的通项公式；

5.已知数列中，，，如果，求数列的通项公式

（二）含有的递推处理方法
1）知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式.

2.）若数列的前n项和满足，则，数列

3）若数列的前n项和满足，则，数列

4）
求数列

（三） 累加与累乘
（1）如果数列中求数列

（2）已知数列满足，，求此数列的通项公式

(3) ,求此数列的通项公式.

（4）若数列的前n项和满足，则，数列

（四）一次函数的递推形式
1. 若数列满足，数列

2 .若数列满足 ，数列

（五）分类讨论
（1），求数列

（2），求数列

（六）求周期
16 （1） ，求数列

（2）如果已知数列，，求

拓展1：有关等和与等积
（1）数列{}满足,,求数列{an}的通项公式

（2）数列{}满足,,求数列{an}的通项公式

(3).已知数列,求此数列{an}的通项公式.

拓展2 综合实例分析
1已知数列{an}的前n项和为，且对任意自然数n，总有
（1）求此数列{an}的通项公式
(2)如果数列中，，求实数p的取值范围

2已知整数列{an}满足，求所有可能的

3已知是首项为１的正项数列，并且，则它的通项公式是什么

4已知是首项为1的数列，并且，则它的通项公式是什么

5、数列和中，成等差数列，，，成等比数列，且，，设，求数列的通项公式。

6 设无穷数列的前项和为，已知，且当时，总有，求及．

7 数列满足，其中为正实数，…
(1)证明：为等比数列，并求出它的通项；
(2)数列中，，，求的通项公式

数列求最值的方法
（一）化为函数方法
转化为耐克函数
（1）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最小？并求其最小值

（2）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最大？并求其最大值

转化为分式函数
（3）如果数列的通项公式是=，此数列的哪一项最大？并求其最大值

转化为二次函数
（4）如果数列的通项公式是=是单调递增数列，求k的取值范围。
如果该数列在第四项最小，求k的取值范围

（二）数列的简单单调性求最值的方法：
如果数列的通项公式是= ，
(1)判断数列的增减
(2)若对于一切大于1的自然数n，不等式恒成立求a的取值范围？

（三）计算器结合复杂单调性，求最值的方法
（1）数列的通项公式是=，是否存在自然数m，使对任意的序号，有恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由

（2）如果数列的通项公式是=，是否存在自然数m，使对任意的序号，有恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由

（3）如果数列的通项公式是=，是否存在自然数m，使对任意的序号，有恒成立，若存在，求出m，如果不存在，请说明理由

（四）数列单调性求“和”的最值的方法
已知数列前n项和为，且
（1） 求的通项公式
（2） 求的通项公式
（3） 说说n为何值时，取得最小值？

数列的求和
（一）倒序相加法：
（1）设，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，求：
……的值

（2）

（二） 错位相减法
求和：…

（三） 公式求和法
（1）数列中，且，
…，求．

（2）

（3）求和…

（三）裂项求和法
（1）…

（2）…

（3）

（4）求数列的前n项和

（四）. 分组求和法
1. 分部分组法
（1）…

（2） 1，3＋，32＋，……，3n＋

2.奇偶分组
（3）已知求数列的前项和．

3 均匀分组
（4）…

4. 不均匀分组
（5）求数列：…的前100项和；
（6）求数列：…的前项和．

数列的极限
5个“三”
三个定义极限
（1）C=C（C为常数）;
（2）=0;
（3）qn=0（|q|＜1）
三个不存在的极限

三个推导极限
（1）多项式

，则

(2)单指数

（3）多指数
若，求的取值范围

三个待定形
1）型
比较 和

2）型
比较和

3）0+0+0+0+0+0+0+0……型

三个重要条件

极限存在

设数列是公比的等比数列，是它的前项和，若，那么的的取值范围是_________

例1
已知数列中，
（1）求证数列不是等比数列，并求该数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值.

例2
定义，，…，的“倒平均数”为（）．
（1）若数列前项的“倒平均数”为，求的通项公式；
（2）设数列满足：当为奇数时，，当为偶数时，．若为前项的倒平均数，求；
（3）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．

例3
设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.
（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？
（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.
（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.

例4
对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期. 例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.
（1）设数列满足（），（不同时为0），求证：数列是周期为的周期数列，并求数列的前2012项的和；
（2）设数列的前项和为，且.
① 若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
② 若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

例5
已知数列和的通项公式分别为，（），将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列
。
（1）求；
（2）求证：在数列中．但不在数列中的项恰为；
（3）求数列的通项公式。

例6
如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．
例如，数列与数列都是“对称数列”．
（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；
（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；
（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．

挑战一
已知数列是首项，公差为2的等差数列；数列满足.
（1）若、、成等比数列，求数列的通项公式；
（2）若对任意都有成立，求实数的取值范围；
（3）数列满足 ，其中，；
，当时，求的最小值（）

挑战二
我们规定：对于任意实数，若存在数列和实数，使得
，则称数可以表示成进制形式，简记为：
。如：，则表示A是一个2进制形式的数，且＝5.
（1）已知（其中，试将m表示成进制的简记形式.
（2）若数列满足，，
，是否存在实常数p和q，对于任意的，总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由.
（3） 若常数满足且，，求.

挑战三
已知数列
(1)
(2)求等差数列对都成立；
并证明你的结论．

挑战四
已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设由（）构成的新数列为，求证：当且仅当时，数列是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列，设（），数列的前
项和为，现有数列，（），
是否存在整数，使对一切都成立？若存在，求出的最小
值，若不存在，请说明理由.

挑战五
已知，数列有（常数），对任意的正整数，并有满足。
（1）求的值；
（2）试确定数列是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；
（3）对于数列，假如存在一个常数使得对任意的正整数都有且，则称为数列的“上渐进值”，令，求数列的“上渐进值”。

挑战六
已知数列中，，，.
（1）求证：是等差数列；并求数列的通项公式；
（2）假设对于任意的正整数、，都有，则称该数列为“域收敛数列”. 试判断: 数列，是否为一个“域收敛数列”，请说明你的理由.

挑战八
已知函数是图像上的两点，横坐标为的点满足（为坐标原点）.
（1）求证：为定值；
（2）若，
求的值；
（3）在(2)的条件下，若，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围.

挑战九
本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
满分6分．
T<15
输出Ti
把公差为2的等差数列的各项依次插入等比数列中，将按原顺序分成1项、2项、4项、……、项的各组，得到数列：，……，记数列的前项和为．若，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前100项和；
（3）设，阅读框图写出输出项，说明理由．

挑战十
已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ,an+1=其中λ为
实数，n为正整数.
（1）对任意实数λ，证明:数列{an}不是等比数列；
（2）证明：当
（3）设0＜a＜b（a,b为实常数）,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意
正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

挑战十一
将数列{an} 中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：
①在数列{bn} 中，b1=1，对于任何n∈N*，都有（n+1）bn+1﹣nbn=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③．请解答以下问题：
（1）求数列{bn} 的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）；
（3）若关于x的不等式在上有解，求正整数k的取值范围

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