指数函数题型总结孟.doc

指数函数题型总结：
题型一．比较大小
例1：已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．
小练：1、比较下列各组数的大小：
（1）若 ，比较 与 ；（2）若 ，比较 与 ；
（3）若 ，比较 与 ；（4）若 ，且 ，比较a与b；
（5）若 ，且 ，比较a与b．
2、曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 (  ).

　 (
题型二．求解有关指数不等式
例2　已知，则x的取值范围是___________．
小练3：5、设，解关于的不等式.
题型三．求定义域及值域问题
例3　求函数的定义域和值域．
小练4： 求下列函数的定义域与值域.
(1)y＝2; (2)y＝4x+2x+1+1.
小练5、若函数的定义域为R，则实数的取值范围 .
题型四．最值问题
例4　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．
小练6、若函数，求函数的最大值和最小值.
小练7、已知函数在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
题型五．解指数方程
　例5　解方程．
题型六．图像及图象变换
　例6　为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）．
　A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
　C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
　D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度
小练8、若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）
A． B C． D．
小练9、方程2|x|+x=2的实根的个数为_______________.
小练10、函数在R上是减函数，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
小练11、当时，函数的值总是大于1，则的取值范围是_____________
题型七、定点问题
例7、函数的图象恒过定点____________.
题型八、函数的奇偶性问题
小练12、如果函数在区间上是偶函数，则=_________
小练13、函数是（ ）
A、 奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
小练14、若函数是奇函数，则=_________
题型九、单调性问题
小练14、函数的单调增区间为_____________.
小练15、函数在区间上的最大值比最小值大，则=__________.
小练16、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ( )
A. [6,+　 B. 　 C. 　 D.

题型十、指数函数性质综合问题
例8（1）已知是奇函数，求常数m的值；
（2）画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k无
解？有一解？有两解？

小练17、 求函数y＝的单调区间.
小练18、 已知函数f(x)＝ (a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.
小练19、定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，
（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；
（3）当为何值时，方程=在上有实数解.

小练20、 函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是( )

答案：　
例1：　　解：∵，∴函数的对称轴是．　故，又，∴．
　　∴函数在上递减，在上递增．若，则，∴；
　　若，则，∴．综上可得，即．
小练1：解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ．
　　（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
　　（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
　　（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．
（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾．
　小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

2、 首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选
例2：解：∵，∴函数在上是增函数，
∴，解得．∴x的取值范围是．:
小练4解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2的定义域为｛x｜x∈R且x≠3｝.又∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为｛y｜y>0且y≠1｝.
(2) y＝4x+2x+1+1的定义域为R.∵2x>0,∴y＝4x+2x+1+1＝(2x)2+2·2x+1＝(2x+1)2>1.
∴y＝4x+2x+1+1的值域为｛y｜y>1｝.
例3解：由题意可得，即，∴，故． ∴函数的定义域是．
　令，则，又∵，∴． ∴，即．
　∴，即．∴函数的值域是．
例4：解：令，则，函数可化为，其对称轴为．
　　∴当时，∵，　∴，即．　∴当时，．
　解得或（舍去）；当时，∵，∴，即，
　　∴ 时，，解得或（舍去），∴a的值是3或．
小练7解： ， 换元为，对称轴为.
当，，即x=1时取最大值，解得 a=3 (a= －5舍去)
例5　解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．
例6解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．
例8、解： （1）常数m=1
（2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;
当k=0或k1时, 直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解;
当0<k<1时, 直线y=k与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
小练17解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，当x∈(-∞，)时，u为减函数，
∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.
小练18解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.
设y＝,解得ax＝-①∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0得-1<y<1.
∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1.
(2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.
(3)f(x)＝＝1-.
1°当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.∴为减函数，从而f(x)＝1-＝为增函数.
2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝为减函数.
小练19解（1）∵x∈R上的奇函数 ∴
又∵2为最小正周期 ∴
设x∈（－1，0），则－x∈（0，1），
∴

（2）设0<x1<x2<1 =
∴在（0，1）上为减函数。
（3）∵在（0，1）上为减函数。
∴ 即 同理在（－1，0）时，
又∴当或时
在[－1，1]内有实数解。

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