陕西省西安市83中学2021届高三下学期二模考试理科数学试题Word版含答案.docx

西安市第八十三中学
2021届高三班级其次次模拟考试数学（理）试题
命题人：唐颖鸿 审题人：韦如成

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，集合，那么（ ）
A. B. C． D．
2. 已知＝(cos40°，sin40°)，＝(cos80°，-sin80°)，则·=（ ）
A. 1 B. C．- D．
3.如图，一个简洁空间几何体的三视图其主视图与左视图都是 边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A. B. C D
4.已知是等差数列的前n项和，若， 则等于（ ）
A. 18 B. 36 C 72 D无法确定
5．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
开头
7．设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．17 B．33 C．-31 D．-3
8. P是所在平面内一点，若，其中，则P点确定在（ ）
A. 内部 B. AC边所在直线上
C. AB边所在直线上 D. BC边所在直线上
9．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的s值，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．―1
10．在中，已知，
那么确定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
11. 两个三口之家，共4个大人，2个小孩，商定星期日乘“奥迪”、“捷达”两
辆轿车结伴郊游，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是（ ）
A. 40 B. 48 C. 60 D. 68
12. 已知函数，若方程有且只有两个不相等
的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A.(－∞，1) B.(0,1) 　C.(－∞，1] D.[0，＋∞)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．）
13．在的开放式中，项的系数是　　　　.
（用数字作答）
14．在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最小值为 .
15．把边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四周体的外接球的体积为 .

16．观看下列等式
, , ,
照此规律，第个等式可为 .

三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分12分）
已知角是的三个内角，是各角的对边，
若向量,,且.
（1）求的值；
（2）求的最大值.

18．（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在线段上，且不与点、重合．
（1）若，求平面与平面的夹角的余值；
（2）求点到直线距离的最小值.

19．（本小题满分12分）
已知在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和．

20．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线
的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，
试问在x轴上是否另存在一个定点P使得始终平分？若存在,
求出点坐标；若不存在,请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数，其中为实数，
（1）若，求函数的最小值；
（2）若方程在上有实数解，求的取值范围；
（3）设…，均为正数，且，，
求证：.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．

22.（本小题满分10分）
如图,⊙的直径的延长线与弦的延长 线相交于点,为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,
（1）求的长度;
（2）若圆F且与圆内切，直线PT与圆F切于点T，
求线段PT的长度.

23. (本小题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）
M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

24.(本小题满分10分)
已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.

西安市第八十三中学
2021届高三班级其次次模拟考试数学（理）参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分.）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
C
B
D
C
B
B
A
B
B
A
11. 解析：B. 只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的可乘坐捷达.若奥迪车上没有小孩，则有=10种；若有一个小孩，则有=28种；若有两个小孩，则有=10种.故不同的乘车方法种数为10+28+10=48种.
12.【解析】函数
的图象如图所示，当a＜1时，函数y=f（x）的图象
与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a
有且只有两个不相等的实数根。答案：A

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应的位置上.）
13．120 14．
15． 16．

三．解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
解：（1）由,，且，
即.
∴,即,
∴.-
（2）由余弦定理得，
而∵,
即有最小值。
又,∴有最大值（当且仅当时取等号），
所以的最大值为.。

18. （本小题共12分）
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得：

于是
设平面的法向量为，
则即，取
取平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，则.
（2）设,

当时，.
19．解：（1）设公比为q，则，，∵是和的等差中项，∴，∴
（2）
则

20．【解】：（1）∵椭圆的短轴长为４，∴，
又抛物线的焦点为，∴，
则，∴所求椭圆方程为：．
（2）设：，代入椭圆方程整理得：
则，假设存在定点使得始终平分，
则
，∴对于恒成立，∴，故存在定点的坐标为．

21．解：（1），由得
当在内递增；
当时，内递减；
故函数处取得最小值
（2）
①当时，在内递增；
，方程在上无实数解；
②当时，在内递减；
，方程在上无实数解；
③当时，由得，
当递减；当时，递增；
又，.由得
故的取值范围为
（3）由（1）知， ，从而
， ，得，
求和得
即故

22.（本小题满分10分）
解：（1）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系
A
C
P
D
O
E
F B
结合题中条件弧长等于弧长可得
,
又,,
从而,故∽,
∴,
由割线定理知,故.
（2）若圆F与圆内切，设圆F的半径为r，由于即
所以是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则，即
23. (本小题满分10分)
解：（1）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以
即
从而的参数方程为（为参数）
（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
射线与的交点的极径为，
射线与的交点的极径为。
所以.

24. 解：（1）不等式，即。
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集为；
当时，即，即或者，
即或者，解集为。
（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立。即对任意实数恒成立。
由于，故只要。
所以的取值范围是。