高中数学第二章几个重要的不等式2.3数学归纳法与贝努利不等式2.3.1数学归纳法课件北师大版选修.ppt

,3,数学归纳法与贝努利不等式,3,.,1,数学归纳法,1,.,理解数学归纳法的原理和实质,.,2,.,掌握用数学归纳法证明与正整数有关的命题的两个步骤,并能灵活运用,.,对数学归纳法的理解,(1),数学归纳法原理,:,数学归纳法原理是设有一个关于,正整数,n,的命题,若当,n,取,第,1,个值,n,0,时该命题成立,又在假设当,n,取,第,k,个值,时该命题成立后可以推出,n,取,第,k+,1,个值,时该命题成立,则该命题对一切自然数,n,n,0,都成立,.,(2),数学归纳法,:,数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题,.,证明需要经过两个步骤,:,验证当,n,取,第一个值,n,0,(,如,n,0,=,1,或,2,等,),时命题正确,.,假设当,n=k,时,(,k,N,+,k,n,0,),命题正确,证明当,n=k+,1,时命题也正确,.,在完成了上述两个步骤之后,就可以断定命题对于,从,n,0,开始的所有正整数,都正确,.,【做一做,1,】,在用数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应检验,(,),A.,当,n=,1,时成立,B.,当,n=,2,时成立,C.,当,n=,3,时成立,D.,当,n=,4,时成立,解析,:,多边形中至少有三条边,故应先验证当,n=,3,时成立,.,答案,:,C,A.,当,n=k+,1,时等式成立,B.,当,n=k+,2,时等式成立,C.,当,n=,2,k+,2,时等式成立,D.,当,n=,2(,k+,2),时等式成立,解析,:,因为已假设当,n=k,(,k,2,且,k,为偶数,),时命题为真,即当,n=k+,2,时命题为真,.,而选项中,n=k+,1,为奇数,n=,2,k+,2,和,n=,2(,k+,2),均不满足递推关系,所以只有,n=k+,2,满足条件,.,答案,:,B,A.2,k,B.2,k,-,1,C.2,k-,1,D.2,k,+,1,答案,:,A,题型一,题型二,题型三,题型一,用数学归纳法证明恒等问题,分析,:,在证明时,要严格按数学归纳法的步骤进行,并要特别注意当,n=k+,1,时等式两边的式子,与当,n=k,时等式两边的式子之间的联系,明确增加了哪些项,减少了哪些项,.,题型一,题型二,题型三,反思,在解本题时,当由,n=k,到,n=k+,1,时,等式的左边增加了一项,这里容易因忽略而出错,.,题型一,题型二,题型三,【变式训练,1,】,用数学归纳法,证明,:,题型一,题型二,题型三,题型二,用数学归纳法证明整除问题,【例,2,】,用数学归纳法,证明,:,n,3,+,5,n,(,n,N,+,),能被,6,整除,.,分析,:,这是一个与整除有关的命题,它涉及全体正整数,第一步应证明当,n=,1,时成立,第二步应明确目标,在假设,k,3,+,5,k,能被,6,整除的前提下,证明,(,k+,1),3,+,5(,k+,1),也能被,6,整除,.,题型一,题型二,题型三,证明,:,(1),当,n=,1,时,n,3,+,5,n=,6,显然能被,6,整除,命题成立,.,(2),假设当,n=,k,(,k,N,+,且,k,1),时,命题成立,即,k,3,+,5,k,能被,6,整除,.,则当,n=k+,1,时,(,k+,1),3,+,5(,k+,1),=k,3,+,3,k,2,+,3,k+,1,+,5,k+,5,=,(,k,3,+,5,k,),+,3,k,2,+,3,k+,6,=,(,k,3,+,5,k,),+,3,k,(,k+,1),+,6,.,由假设知,k,3,+,5,k,能够被,6,整除,而,k,(,k+,1),是偶数,故,3,k,(,k+,1),能够被,6,整除,从而,(,k,3,+,5,k,),+,3,k,(,k+,1),+,6,即,(,k+,1),3,+,5(,k+,1),能够被,6,整除,.,因此,当,n=k+,1,时,命题也成立,.,由,(1)(2),知,命题对一切正整数成立,即,n,3,+,5,n,(,n,N,+,),能被,6,整除,.,反思,用数学归纳法证明有关整除性问题的关键是寻找,f,(,k+,1),与,f,(,k,),之间的递推关系,基本策略就是,“,往后退,”,从,f,(,k+,1),中将,f,(,k,),分离出来,.,题型一,题型二,题型三,【变式训练,2,】,用数学归纳法,证明,:,1,-,(3,+x,),n,(,n,N,+,),能被,x+,2,整除,.,证明,:,(1),当,n=,1,时,1,-,(3,+x,),=-,(,x+,2),能被,x+,2,整除,命题成立,.,(2),假设当,n=k,(,k,N,+,且,k,1),时,1,-,(3,+x,),n,能被,x+,2,整除,则可设,1,-,(3,+x,),k,=,(,x+,2),f,(,x,),(,f,(,x,),为,k-,1,次多项式,),.,则当,n=k+,1,时,1,-,(3,+x,),k+,1,=,1,-,(3,+x,)(3,+x,),k,=,1,-,(3,+x,)1,-,(,x+,2),f,(,x,),=,1,-,(3,+x,),+,(,x+,2)(3,+x,),f,(,x,),=-,(,x+,2),+,(,x+,2)(3,+x,),f,(,x,),=,(,x+,2),-,1,+,(3,+x,),f,(,x,),能被,x+,2,整除,即当,n=k+,1,时命题也成立,.,由,(1)(2),可知,对,n,N,+,1,-,(3,+x,),n,能被,x+,2,整除,.,题型一,题型二,题型三,题型三,利用数学归纳法证明几何问题,【例,3,】,平面内有,n,个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证,:,这,n,个圆将平面分成,f,(,n,),=n,2,-n+,2(,n,N,+,),个部分,.,分析,:,因为,f,(,n,),为,n,个圆把平面分割成的区域数,如果,再有一个圆和这,n,个圆相交,那么,就有,2,n,个交点,这些交点将增加的这个圆分成,2,n,段弧,且每一段弧又将原来的平面区域一分为二,因此,增加一个圆后,平面分成的区域数增加,2,n,个,即,f,(,n+,1),=f,(,n,),+,2,n.,有了上述关系,数学归纳法的第二步证明可迎刃而解,.,题型一,题型二,题型三,证明,:,(1),当,n=,1,时,一个圆将平面分成两个部分,且,f,(1),=,1,-,1,+,2,=,2,所以,当,n=,1,时命题成立,.,(2),假设当,n=k,(,k,N,+,k,1),时命题成立,即,k,个圆把平面分成,f,(,k,),=k,2,-k+,2,个部分,则当,n=k+,1,时,从,(,k+,1),个圆中任取一个圆,O,剩下的,k,个圆将平面分成,f,(,k,),个部分,而圆,O,与,k,个圆有,2,k,个交点,这,2,k,个交点将圆,O,分成,2,k,段弧,每段弧将原平面一分为二,故得,f,(,k+,1),=f,(,k,),+,2,k=k,2,-k+,2,+,2,k=,(,k+,1),2,-,(,k+,1),+,2,.,所以当,n=k+,1,时,命题也成立,.,综合,(1)(2),可知,对一切,n,N,+,命题成立,.,题型一,题型二,题型三,反思,对于几何问题的证明,可以从有限情形中归纳出一个变化的过程,或者说体会出是怎样变化的,然后再去证明,也可以用,“,递推,”,的办法,.,题型一,题型二,题型三,1,2,3,4,1,用数学归纳法证明,1,+,2,+,+,(2,n+,1),=,(,n+,1)(2,n+,1),时,在验证,n=,1,成立时,左边所得的代数式是,(,),A,.,1B,.,1,+,3,C,.,1,+,2,+,3D,.,1,+,2,+,3,+,4,答案,:,C,1,2,3,4,答案,:,B,1,2,3,4,3,用数学归纳法证明关于,n,的恒等式,当,n=k,时,表达式为,1,4,+,2,7,+,+k,(3,k+,1),=k,(,k+,1),2,则当,n=k+,1,时,表达式为,.,答案,:,1,4,+,2,7,+,+k,(3,k+,1),+,(,k+,1)(3,k+,4),=,(,k+,1)(,k+,2),2,1,2,3,4,