高数下清考试卷.pdf

第 1 页 共 9 页一、填空（一、填空（37=2137=21 分）分）1.1.设设，则，则 ，1,2,0,1,1,1abrrbarrba2.2.过点过点且与平面且与平面垂直的直线方程为垂直的直线方程为 (1,0,1)10 xyz 3.3.设曲线设曲线，则，则=L:cos,sin(02)xt ytt 222()Lxyds 4.4.改变积分次序改变积分次序=2100(,)xdxf x y dy5.5.函数函数的傅立叶级数在的傅立叶级数在 x=x=处收敛于处收敛于 ()yxx6.6.函数函数在点在点处的梯度为处的梯度为 22zxy(1,1)7.7.微分方程微分方程通解为通解为 sin5yx y二二 .计算题（计算题（72=1472=14 分）分）1.1.设设，求，求.22xzxydz2.2.设设是由方程是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，所确定的具有连续偏导数的函数，),(yxfz 10zzxye 求求.yzxz,GDOU-B-11-302GDOU-B-11-302第 2 页 共 9 页三三 .计算下列积分（计算下列积分（74=2874=28 分）分）1.1.，其中，其中是由直线是由直线以及以及所围成的闭区域。所围成的闭区域。()Dxy dDy0,yx1x 2.2.，其中，其中是由是由围成的闭区域。围成的闭区域。22Dsin()xydD221xy3.3.设曲线积分设曲线积分在整个在整个平面内与路径无关，平面内与路径无关，(1,1)(0,0)()()xy dxkxy dyxoy求常数求常数，并计算积分值。，并计算积分值。k第 3 页 共 9 页4.4.计算计算,其中其中 是区域是区域的的2xdydzydzdxzdxdy 01,01,01xyz整个表面的外侧。整个表面的外侧。四四 .计算题（计算题（84=3284=32 分）分）1.1.判别级数判别级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件11)3nnn（收敛。收敛。2.2.将函数将函数 展开为展开为 的幂级数。的幂级数。23()xf xx ex 3.3.求微分方程求微分方程的通解。的通解。3yyx第 4 页 共 9 页4.4.求微分方程求微分方程的通解。的通解。2yyyx五五.设级数设级数收敛，证明级数收敛，证明级数也收敛。也收敛。（5 5 分）分）12nnu212()nnun试题答案和评分标准试题答案和评分标准一、填空（一、填空（37=2137=21 分）分）第 5 页 共 9 页8.8.设设，则，则 -1-1 ，1,2,0,1,1,1abrrbarrba2,1,3 9.9.过点过点且与平面且与平面垂直的直线方程为垂直的直线方程为 (1,0,1)10 xyz 11111xyz10.10.设曲线设曲线，则，则=L:cos,sin(02)xt ytt 222()Lxyds 211.11.改变积分次序改变积分次序=2100(,)xdxf x y dy110(,)ydyf x y dx12.12.函数函数的傅立叶级数在的傅立叶级数在 x=x=处收敛于处收敛于 0 0 ()yxx13.13.函数函数在点在点处的梯度为处的梯度为22zxy(1,1)2,214.14.微分方程微分方程通解为通解为sin5yx y211sin525xc xc二二 .计算题（计算题（72=1472=14 分）分）2.2.设设，求，求.22xzxydz解：解：（2 2）（2 2）2222,()zyxxy224()zxyyxy （2 2）zzdzdxdyxy =（1 1）2222224()()yxydxdyxyxy2.2.设设是由方程是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，所确定的具有连续偏导数的函数，),(yxfz 10zzxye 求求.yzxz,解：解：在方程两边对在方程两边对 x x 求偏导数，求偏导数，（1 1）（2 2）0zzzzyexyexx第 6 页 共 9 页得，得，（1 1）1zzzyexxye在方程两边对在方程两边对 y y 求偏导数，求偏导数，（2 2）0zzzzxexyeyy得，得，（1 1）1zzzxeyxye三三 .计算下列积分（计算下列积分（74=2874=28 分）分）4.4.，其中，其中是由直线是由直线以及以及所围成的闭区域。所围成的闭区域。()Dxy dDy0,yx1x 解：区域解：区域 D D 可表示为可表示为，（1 1）0,01yxx （3 3）Dxyd100()xdxxy dy=（2 2）12032x dx=（1 1）125.5.，其中，其中是由是由围成的闭区域。围成的闭区域。22Dsin()xydD221xy解：区域解：区域 D D 在极坐标下可表示为在极坐标下可表示为，（2 2）02,01r 原原=（3 3）21200sindr rdr =（1 1）2011(cos1)22d =（1 1）(1 cos1)第 7 页 共 9 页6.6.设曲线积分设曲线积分在整个在整个平面内与路径无关，平面内与路径无关，(1,1)(0,0)()()xy dxkxy dyxoy求常数求常数，并计算积分值。，并计算积分值。k解：设解：设 则则 （2 2）,Pxy QkxyQPxy，所以，所以 （2 2）,1QPkxy1k 原式原式=1=1 （3 3）1100(1)xdxy dy4.4.计算计算,其中其中 是区域是区域的的2xdydzydzdxzdxdy 01,01,01xyz整个表面的外侧。整个表面的外侧。解：设解：设 V V 是由是由 围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式 原式原式=(3)(3)dvzzyyxxV)2(=(1)(1)dvV4 =(2)(2)V4 =4=4 （1 1）四四 .计算题（计算题（84=3284=32 分）分）3.3.判别级数判别级数 是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件11)3nnn（收敛。收敛。解：解：=发散，发散，（2 2）11)3nnn（113nn单调减少，单调减少，（3 3）13n1lim03nn第 8 页 共 9 页所以所以收敛，并且是条件收敛。收敛，并且是条件收敛。（3 3）11)3nnn（4.4.将函数将函数 展开为展开为 的幂级数。的幂级数。23()xf xx ex解：解：（4 4）0!nxnxen （2 2）30(3)!nxnxen ，（2 2）22303()!nnxnxf xx enx 3.3.求微分方程求微分方程的通解。的通解。3yyx解：解：的通解为的通解为，（2 2）0yyxyce 设原方程的通解为设原方程的通解为，代入方程得，代入方程得 ()xyc x e ，得，得 （4 4）()3xc xxe()33xxc xxeec 原方程的通解为原方程的通解为 （2 2）33xyxce 4.4.求微分方程求微分方程的通解。的通解。2yyyx解：特征方程为解：特征方程为，特征根为，特征根为 （2 2）220122,1 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 （2 2）212xxyc ec e1124yx 是原方程的一个特解是原方程的一个特解 （2 2）原方程的通解为原方程的通解为 （2 2）2121124xxyxc ec e 第 9 页 共 9 页五五.设级数设级数收敛，证明级数收敛，证明级数也收敛。也收敛。（5 5 分）分）12nnu212()nnun证：证：22422nununn （2 2）222424nnnuuunnn2242()nun 而而收敛，收敛，也收敛。也收敛。（1 1）12nnu214nn 由比较判别法知，原级数收敛。由比较判别法知，原级数收敛。（2 2）