高数教案第十章重积分.doc

高 等 数 学 教 案
章节题目
第十章 重积分
§10-1二重积分的概念及性质
课 型
理论课
教学目的
理解二重积分的概念，了解二重积分性质。
重 点
二重积分的概念，性质
难 点
如何运用二重积分的性质去解决问题
参考书目
同上
教 具

教学后记

教学 过 程

（一）、复习上节内容
（二）、讲授

§10-1二重积分的概念及性质
一、二重积分的概念
（一）引例
1. 曲顶柱体的体积
2.平面薄片的质量
（二）二重积分的定义
1．定义：
2. 几个事实
二、二重积分的性质
三、二重积分的几何意义

（三）、 本次课内容小结
（四）、布置作业

第十章 重积分
§10-1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
（一）引例
1. 曲顶柱体的体积
设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。
当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积可以这样来计算:
(1) 用任意一组曲线网将区域分成个小区域，，，，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体，，，。
（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值, 既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

图10-1-1
从而 (将化整为零)
(2) 由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

(以不变之高代替变高, 求的近似值)
(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为

(4) 为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设个小区域直径中的最大者为, 则

2.平面薄片的质量
设有一平面薄片占有面上的区域, 它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。

图10-1-2
将分成个小区域 ，，，，用记的直径, 既代表第个小区域又代表它的面积。
当很小时, 由于连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀的, 那么第小块区域的近似质量可取为

于是

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。
（二） 二重积分的定义
1．定义：设是闭区域上的有界函数, 将区域分成个小区域
,
其中,既表示第个小区域, 也表示它的面积, 表示它的直径。

作乘积
作和式
若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作 。
即
其中: 称之为被积函数,称之为被积表达式,称之为面积元素,
称之为积分变量,称之为积分区域,称之为积分和式。
2． 几个事实
(1) 二重积分的存在定理
若在闭区域上连续, 则在上的二重积分存在。
声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
(2)中的面积元素象征着积分和式中的。

图10-1-3
由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为 。
(3) 若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1. 线性性

其中: 是常数。
2. 对区域的可加性
若区域分为两个部分区域,则

3. 若在上,, 为区域的面积,则

几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4. 若在上,,则有不等式

特别地,由于，有

5. 估值不等式
设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则

6. 二重积分的中值定理
设函数在闭区域上连续, 是的面积,则在上至少存在一点,使得

7 、对称性（偶倍奇零）
设函数在闭区域上连续, 关于x 轴对称, 位于 x 轴上方的部分为 ,在 上
则
则
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍有类似结果.
例1比较下列各对二重积分的大小
（1）与，其中。
（2）与，其中是三角形区域，三顶点分别为。
例2 判断积分的正负号.[负]
例3 估计下列积分之值
[1.96 £ I £ 2]

三、二重积分的几何意义
1．若， 表示曲顶柱体的体积
2．若， 表示曲顶柱体的体积的负值
3． 表示曲顶柱体的体积的代数和
例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.[]

小结： 二重积分的定义（和式的极限）；二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）；
二重积分的性质。

作业：习题 10-1（P136）基础题：4(1) ;5(1)

高 等 数 学 教 案
章节题目
第十章 重积分
§10-2 二重积分的计算法（一）
课 型
理论课
教学目的
深刻理解二重积分的计算方法和基本技巧
重 点
熟练掌握二重积分计算
难 点
对积分区域的划分
参考书目
同上
教 具

教学后记
本节内容掌握的不够理想。
教学 过 程

（一）、复习上节内容
（二）讲授

§10-2 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
1、-型区域，-型区域。
2、二重积分化二次积分时应注意的问题
3．求体积
4．更换积分次序

（四）、 本次课内容小结
（五）、 布置作业

§10-2 二重积分的计算法
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、 利用直角坐标计算二重积分
１、-型区域，-型区域
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。
讨论中,我们假定；
假定积分区域可用不等式 表示,
其中在上连续。

图10-2-1 图10-2-2
据二重积分的几何意义可知, 的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。

图10-2-3
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为

从而有
(1)
上述积分叫做先对,后对的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分。
这个先对, 后对的二次积分也常记作

在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在上连续),公式(1)总是成立的。
类似地,如果积分区域可以用下述不等式

表示,且函数,在上连续, 在上连续,则
(2)

图10-2-4 图10-2-5
显然,(2)式是先对,后对的二次积分。
2．二重积分化二次积分时应注意的问题
（1）. 积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
（2）. 积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。
画出积分区域的图形(假设的图形如下 )

图10-2-6
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。

例1. 计算其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及y＝x 所围的闭区域.
（可用X–型区域，Y–型区域分别求解）[]
例2. 计算其中D 是抛物线及直线所围成的闭区域.
（先对 x 后对 y 积分）[]
例3. 计算其中D 是直线所围成的闭区域.[]
（先对 y后对 x 积分）
例4. 交换下列积分顺序
关键画图[]
例5. 计算其中D 由所围成.
关键：画图，切割积分区域，利用对称性[]
3．求体积
思考 例6. 求由曲面及所围成的立体的体积。
解
1. 作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域

图10-2-7
消去变量得一垂直于面的柱面,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域

2. 列出体积计算的表达式

3. 配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算

图10-2-8

而
由的对称性有

所求立体的体积为

4．更换积分次序
练习1 改变积分 的次序.[]
练习2 改变积分的次序.
[]
练习3 改变积分的次序.
[]
练习4 求，其中是由抛物线和所围平面闭区域. []
练习5 求，其中D是以为顶点的三角形. []
练习6 计算积分 . []
小结：二重积分计算公式
直角坐标系下 X—型
Y—型
作业 习题10-2（P154）
基础题：2 (1),(4); 3; 4 (3);7; 10
提高题：6 (4);

高 等 数 学 教 案
章节题目
第十章 重积分
§10-2 二重积分的计算法（二）
课 型
理论课
教学目的
掌握二重积分的计算方法（极坐标）。
重 点
二重积分的计算方法
难 点
二重积分的计算方法
参考书目
同上《高等数学习题集》
教 具

教学后记

教学 过 程

（一）、复习上节内容
（二）讲授

§10-2 二重积分的计算法(二)
一、利用极坐标计算二重积分
1. 变换公式
2. 极坐标下的二重积分计算法
3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则
二、例题

（三）、 本次课内容小结
（四）、布置作业

§10-2二重积分的计算法
二、利用极坐标计算二重积分
1. 变换公式
按照二重积分的定义有

图10-2-9
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点0为中心的一族同心圆常数 以及从极点出发的一族射线常数,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算

其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有

于是

即

由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:

2. 极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。
(1) 积分区域可表示成下述形式
其中函数,在上连续。

图10-2-10
则
(2) 积分区域为下述形式
图10-2-11
显然,这只是(1)的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 )。故

(3) 积分区域为下述形式

图10-2-12
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而

故
则
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式

3. 使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2) 被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。
例1 计算
解 此积分区域为

区域的简图为

图10-2-13
该区域在极坐标下的表示形式为

例2计算，其中为。
利用此题推出概率积分
例3求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. []
例4 写出积分的极坐标二次积分形式，其中积分区域
. [].
例5 计算，其D为由圆，及直线， 所围成的平面闭区域. []
例6计算，其中为。。
例7 计算，其中为。。
例8计算，其中为。提示：，。
例9计算，其中为。[]
例10 将下述二次积分化为直角坐标系下的二次积分
。
[]

小结： 二重积分计算公式
极坐标系下
作业：习题10-2（P154）
基础题： 13 (3); 14 (3);
提高题： 15(2);17

高 等 数 学 教 案
章节题目
第十章 重积分
§10-3 三重积分（一）
课 型
理论课
教学目的
1、 掌握三重积分的定义、性质
2、 掌握直角坐标下三重积分的计算方法
3、 掌握柱面坐标下三重积分的计算方法
重 点
直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法）
难 点
直角坐标、柱面坐标下三重积分的计算方法（投影法、截面法）
参考书目
同上
教 具

教学后记

教学 过 程

（一）、复习上节内容
（二）、讲授

§10-3三重积分（一）

一、三重积分的概念

1．三重积分的定义
2．三重积分的存在定理
3．三重积分的物理意义
二．三重积分的计算法
1、利用直角坐标计算三重积分
2、利用柱面坐标计算三重积分
（1）三重积分在柱面坐标系中的计算公式
（2）用柱面坐标表示积分区域的方法
（三）、 本次课内容小结
（四）、布置作业

§10-3 三重积分的概念及其计算法
一、三重积分的概念
1．三重积分的定义
设是空间闭区域上的有界函数,将任意地分划成个小区域 ，其中表示第个小区域,也表示它的体积。在每个小区域上任取一点, 作乘积，作和式， 以记这个小区域直径的最大者,若极限 存在,则称此极限值为函数在区域上的三重积分,记作,
即 =.
其中叫体积元素。
自然地,体积元素在直角坐标系下也可记作成。
2．三重积分的存在定理
若函数在区域上连续, 则三重积分存在。
3．三重积分的物理意义
如果表示某物体在处的质量密度, 是该物体所占有的空间区域,且在上连续,则和式 就是物体质量的近似值, 该和式当时的极限值就是该物体的质量。
故
特别地, 当=1时,为体积.
二．三重积分的计算法
计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分。
1．利用直角坐标计算三重积分
假设积分区域的形状如下图所示.
在面上的投影区域为, 过上任意一点, 作平行于轴的直线穿过
内部, 与边界曲面相交不多于两点。 亦即, 的边界曲面可分为上、下两片部分曲面。
,
其中, 在上连续, 并且 。

图10-3-1
如何计算三重积分呢?
不妨先考虑特殊情况=1,则

即
一般情况下,类似地有

显然积分只是把看作的函数在区间上对求定积分, 因此,其结果应是的函数, 记

那么
如上图所示, 区域可表示为

从而
综上讨论, 若积分区域可表示成

则
这就是三重积分的计算公式, 它将三重积分化成先对积分变量, 次对,最后对的三次积分。
如果平行于 轴且穿过内部的直线与边界曲面的交点多于两个,可仿照二重积分计算中所采用的方法, 将剖分成若干个部分,(如),使在上的三重积分化为各部分区域( )上的三重积分,当然各部分区域 () 应适合对区域的要求。
例1 计算三重积分分，其中是由三个坐标平面及平面所围成的空间区域。
例2 计算三重积分，其中是由椭球面所围成的空间区域。（先二后一）。
2．利用柱面坐标计算三重积分
对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
（一）. 柱面坐标
设为空间的一点,该点在面上的投影为,点的极坐标为,则三个数称作点的柱面坐标。

图10-3-2
规定的取值范围是
，，
柱面坐标系的三组坐标面分别为
=常数,即以轴为轴的圆柱面；
=常数,即过轴的半平面；
=常数,即与面平行的平面。
点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式
(1)
（二）.三重积分在柱面坐标系中的计算公式

图10-3-3
用三组坐标面=常数,=常数,=常数,将分割成许多小区域,除了含的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由各取得微小增量所成的柱体,该柱体是底面积为,高为的柱体,其体积为这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有
(2)
(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量的三次积分,其积分限要由在中的变化情况来确定。
（三）用柱面坐标表示积分区域的方法
(1) 找出在面上的投影区域, 并用极坐标变量表示之；
(2) 在内任取一点, 过此点作平行于轴的直线穿过区域, 此直线与边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成的函数 )即为的变化范围。
例1 利用柱面坐标计算三重积分，其中是柱面及平面 所围成半圆柱体。[]
例2用柱坐标计算三重积分,其中是由抛物柱面与平面所围成。[]

小结：三重积分的定义和计算（化三重积分为三次积分），直角坐标系下的体积元素。
柱面坐标的体积元素
作业：习题10-3（P164） 基础题：5; 9 (2); 提高题：8;14

高 等 数 学 教 案
章节题目
第十章 重积分
§10-4 重积分的应用
课 型
理论课
教学目的
1、 掌握利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。
2、 掌握利用三重积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。
重 点
利用二重积分求曲面的面积，平面薄片的质心、转动惯量。
难 点
利用三重积分求立体体积、空间体积的质心、转动惯量、引力。
参考书目
同上
教 具

教学后记

教学 过 程

（一）、复习上节内容
（二）、讲授
§10-4 重积分的应用
一、立体体积
二、曲面的面积；
1、推导公式；
2、例题
三、质心；
1. 平面上的质点系的质心
2. 质心
3. 空间物体的质心
四、转动惯量；
1. 平面质点系对坐标轴的转动惯量
2. 平面薄片对于坐标轴的转动惯量
3. 空间物体的转动惯量
五、引力

（三）、 本次课内容小结
（四）、布置作业

§10-4 重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1. 所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时, 所求量相应地分成许多部分量,且。
2. 在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记作。
3. 所求量可表示成积分形式
一、立体体积
曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为，占有空间有界域 W 的立体的体积为。
例1. 求曲面任一点的切平面与曲面所围立体的体积V . []
例2. 求半径为a 的球面与半顶角为a 的内接锥面所围成的立体的体积.
[]
二、曲面的面积
设曲面由方程给出, 为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。

图10-4-1
在闭区域上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。 以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面, 该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面在点处的法线向量( 指向朝上的那个 )为

它与轴正向所成夹角的方向余弦为

而
所以
这就是曲面的面积元素, 故

即

例3 计算双曲抛物面被柱面所截出的面积 A .[]
例4. 计算半径为 a 的球的表面积.（可利用直角坐标系或球坐标系）[]
练习 求球面含在柱面() 内部的面积。
解 所求曲面在面的投影区域

图10-4-2
曲面方程应取为 , 则
,

曲面在面上的投影区域为

图10-4-3
据曲面的对称性,有

若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有

或

二、质心
1. 平面上的质点系的质心
设在平面上有个质点,它们分别位于点处,质量分别为.由力学知道,该质点系的质点的坐标为
,
2.空间物体的质心
设占有空间有界闭区域的物体，在点处的密度为 （假定在上连续），则物体的质心坐标是

其中
当为常数，
3.质心
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的质心坐标。
在闭区域上任取一直径很小的闭区域,是这小闭区域内的一点,由于的直径很小,且在上连续,所以薄片中相应于的部分的质量近似等于,于是静矩元素为

又平面薄片的总质量为
从而,薄片的质心坐标为

特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则

这时薄片的质心称为该平面薄片所占平面图形的形心。
例5 求位于两圆和之间均匀薄片的质心。
练习 一个半径为1的半圆形平面薄片，其上各点处的密度该点到圆心的距离，求此薄片的质心。
解，

，质心
四、转动惯量
1. 平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有个质点, 它们分别位于点处, 质量分别为。
设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为

2. 平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为, 假定在上连续。 现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为

以这些元素为被积表达式,在闭区域上积分,便得

同理
例6. 求由半径为的均匀半圆薄片(面密度为常数)对于其直径边的转动惯量。
解
其中为半圆薄片的质量。
3.空间物体的转动惯量
设占有空间有界闭区域的物体，在点处的密度为 （假定在上连续），则物体的转动惯量
， ，
， 。
例7 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量。
解
其中为球体的质量
五、引力
设物体占有空间区域 W,其密度函数物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,引力元素在三坐标轴上的投影分别为
,,在W上积分即得各引力分量:
,,
对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为

例8 求半径 R 的均匀球对位于点处的单位质量质点的引力.[]
小结： 几何应用：曲面的面积；物理应用：重心、转动惯量、引力。

作业：习题10-4（P175）基础题：1 提高题：4(2)

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