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高数解题方法汇总

一、课本以及课堂上老师方法
1、如何判断一个数列的极限不存在？
（1）找一个趋于∞的子数列
（2）找两个收敛于不同极限的子数列
（3）注意一个结论：单调有界数列必有极限（可用来证明数列极限存在）

2、如何判断一个函数的在X0极限不存在？
（1）找一个敛于X0的数列Xn ，n→∞时，极限f(Xn )不存在
（2）找两个趋于X0的不同数列Xn 和Xn’，使n→∞时，极限f(Xn )不等于极限f(Xn’)
（3）直接写X→X0时函数f(X)极限的表达式，证明极限值为∞或者不存在
（4）左右极限不相等

3、判断可导性
（1）不连续，一定不可导
（2）直接用导数定义
（3）看左右导数是否存在且相等

4、判定区间I上的连续曲线f(X)的拐点
（1）求函数二阶导数
（2）求出使函数二阶导数在区间内等于0的全部是根，并求出在区间内二阶导数不存在的点
（3）检查所有点左右两侧附近二阶导数的符号是否相反，若相反则是拐点

5、求f(X)在某区间内的极值点和相应的极值
（1）求出一阶导数
（2）求出f(X)的全部驻点和不可导点
（3）检查所有点左右两侧附近一阶导数的符号是否相反，相反则为极值点，接着判断是极大值还是极小值
（4）求出个极值点的函数值，即可得函数f(X)的全部极值

6、求f(X)在某区间内的最大值和最小值
（1）按照上述方法求出所有极值的函数值
（2）求出区间端点对应的函数值，与所有函数值相比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值

二、自己总结的方法
1、求极限的方法：
（1）看到x→∞，就想办法换元t=1/x（t→0）
（2）先化简，再求极限，化简的方法有：分子（分母）有理化
（3）大胆配凑！！！
a.出现sinX，可考虑配凑sinX/X（但一定要注意X的变化趋势是X→0）
b.若底数→1，指数→∞，考虑化成重要极限的形式（放心大胆化，化完了再单独求尾巴）
（但有的时候，底数和指数太不相同，若硬凑，则指数的求极限也很麻烦，此时化成e的n次方的形式即可）
c.出现（sinX+cosX）时，整体平方一下即可出现1了（1在很多重要极限以及无穷小替代中经常出现）
d. 很多等价替换的式子要求x→0，但如果刚好题目给的是x→C(常数)，那么换元t=x-C,即可出现t→0
（4）洛必达定理
a. 0·∞-0型的，要通分化成0/0或者∞/∞
b. 尽量找关于x的式子中共同的因式，把这个因式重新换元，化繁为简
c. 巧用洛必达定理去除常数项
（5）用泰勒公式把关于x的七里八里的式子全部化成x的多项式

2、关于高阶函数
（1）什么时候用莱布尼茨公式比较好？
当要求高阶函数，而其中一个因式为多项式时（因为多项式到了高阶函数时，导数会变成0）
（2）当原函数式子比较复杂却要求n阶导数时，可以考虑先求 一阶导数=一个简单的式子，然后再求那个简单的式子的（n-1）阶导数
（3）遇到高阶三角函数时一定要先化简（化成1次），再求n阶导数

3、关于求导
（1）对于隐函数的求导一般思路：等式两边同时对x求导
（2）对数求导法常用对象：
幂指函数（最常用）、多项连乘或连除或开方（可以化成对数的加减，好算一些）

4、中值定理的应用
（1）要把式子中含相同中值的式子写在一起，出现了新的关于x的表达式就把这个新的表达式看成新的函数，用柯西中值定理
（2）一般都要用逆向思维，设辅助函数
（3）证明含1个中值的等式或根的存在，多用罗尔定理，可用原函数法找辅助函数
（4）若结论中涉及到含中值的两个不同的函数，可考虑用柯西中值定理
（5）若结论中含两个或两个以上的种植，必须多次运用中值定理
（6）若已知条件中含高阶导数，多考虑用泰勒公式，有时也考虑对导数用中值定理
（7）若结论为不等式，要注意适当放大或缩小的技巧

三、不同题型及处理办法
1、设f(X)是多项式，给了几个f(X)参与计算的极限的式子，求f(X)表达式
【方法】：（1）通过观察极限的值确定f(X)的最高次项
（2）确定完最高次项之后用待定系数法

2、涉及几何的问题或工程上的实际问题，要进行建模，构造函数
就算可能写不出表达式，也建立数学关系，因为有的时候可能只需要从概念上进行评判即可，不一定需要得到具体的值（看清题目要求的或者要证明的东西与哪个知识或定理类似）

3、一个好长的式子（有规律变化）极限值等于一个常数的证明题
【方法】：（1）夹逼定理（整体一起夹逼，巧用放缩）（只要是有规律的多项式，哪怕项数是有限个甚至比较少，都可以尝试夹逼定理）
（2）尝试化简式子本身，有时候可以加减相消或者裂项相消

4、求分式函数的间断点的类型
【方法】：（1）分式函数在其定义区间内一般都是连续的，所以间断点一般出现在使得分母为零的点上。要在没有约分的情况下，把所有使得分母为零的点求出来。
（2）判断是什么间断点一定要严格按照定义来

5、最大值和最小值函数
【方法】：𝞿（X）=1/2[f(x)+g(x)+⎮f(x)-g(x)⎮] ⇒ 𝞿（X）为f(x)和g(x)中的最大值
𝟁（X）=1/2[f(x)+g(x)-⎮f(x)-g(x)⎮] ⇒ 𝟁（X）为f(x)和g(x)中的最小值
6、证明式1=式2
【方法】（1）把所有式子移到等式同一边，构造新的函数，判断在给定区间上是否有零点

7、解函数解析式
【方法】利用“函数表示与变量字母无关的特性”，配凑出关于f(x)的多元一次方程组，最后解方程即可

8、等价替代需要注意的
（1）式子中没有ln(x+1)，只有lnx，那么就用lnx~(x-1) 等
但是使用此方法一定要注意x→什么数，满不满足等价替换的条件
（2）加减不能等效替换，一定不能。实在要用的话，就一定要先拆开，再一项项单独替换，而且一定要注意替换的过程中，每一项的极限值是否存在

9、证明数列单调
【方法】（1）差值法 Xn+1 -Xn ≥0
（2）比值法 Xn+1 /Xn ≥1

10、已知一个条件，判断这个条件能不能推出函数可导
或者已知函数可导，判断能不能推出某个条件
【方法】：一定一定一定要写导数的表达式，从定义上判断

11、求反函数的导数
【方法】（1）先求此函数本身的导数，反函数导数就是原函数导数的倒数
（2）等式两边同时对y求导即可
（注意求反函数的导数不需要对调x和y，且最后结果的表达式要用x来表示）

12、证明函数在区间内有界
【方法】即证该区间内 ⎮f(x)⎮≤M（常数）

四、注意⚠️
1、一定要看清楚要求的是函数的极限还是导数的极限！！！
2、当X→0时，一旦遇到1/X的式子，就一定要考虑分别讨论X=0的左右极限（正负）
遇到⎮X⎮时也要注意考虑正负
3、有一个结论：如果f(X)在X0 连续，那么⎮f(X)⎮也在X0连续
但是题目中如果没有给这个结论的话，那么必须要自己重新证明
4、注意是f(x1)f(x2)<0时才能用零点存在定理，如果推出来的式子时f(x1)f(x2)≤0，那么需要单独讨论f(x1)f(x2)=0的情况
5、看到两个sin或两个cos的和差，优先考虑和差化积
6、选择填空题若是可以直接看出答案的就不用太纠结去严格证明了
7、求有界性的时候多用 绝对值不等式 进行放缩
8、若知道某点的函数值等于0的话，大胆地将其放在定义式里进行加减（反正加减的是0，不影响结果）
9、如果X→0时，f(x)/x存在，则X→0时，f(x)→0
若f(x)在x=0处连续，则f(0)=0
10、在众多证明题中，谁可导就配凑谁的导数形式
11、若题干中有“函数在某点的n阶导数存在”的信息，隐藏的信息是——（1）f(x)在这一点连续；（2）f(x)在这一点的1～（n-1）阶导数都存在
12、运用一系列中值定理时，一定要讨论这些中值定理存在的条件（可导啊，连续啊）
13、当没有给函数f(x)的表达式却要证明关于关于f(x0)或者其他与f(x)有关的东西时（比如f(x)的高阶导数），可以设一个带有拉格朗日余项的泰勒公式
14、若某一点导数不存在而函数在该点连续，那么在那个点处的函数图像应该是一个尖点
15、若对于一个函数f(x)，或者也可以构造一个这样的f(x)，若f(0)、0点处的一阶导数、0点处的二阶导数、······、0点处的n阶导数都等于零（或者大多数等于零），那么可以用泰勒公式展开，比较简便。