二次函数综合复习.doc

专题复习：二次函数综合应用
秀林镇中学 李小平
一、教学目标：
1. 学生经历课上对简单动点问题的讲习，对简单动点问题的解题方法有进一步的理解；
2. 经历较复杂背景下，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升；
3. 在自主解题、讲习和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。
二、教学背景及学情分析：
本节是中考复习中的二次函数综合应用的专题复习课，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大。学生在原有的基础上能对相关知识进行整合，在解题时应认真分析试题中的已知条件，循序渐进，逐步分析求解。本节所选题目考查确定二次函数解析式，最短路径问题及特殊几何图形的形成等知识，旨在培养学生能灵活运用方程思想及分类讨论思想思考解决问题的能力。
三、本节课目标导学：点动、线动、面动构成的问题称为动态题．
（一）常见考点:
（1）确定二次函数解析式
（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）
（3）函数类最值问题
（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）
本节课主要解决与动点有关的存在性问题的研究方法和策略
（二）解题策略：
动点（线、面）→画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求解符合条件的点坐标→验证符合题意
四、教学重点：经历应用特殊图形的性质和判定解决二次函数与特殊图形的问题。
教学难点：运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程及分类讨论思想解决问题。
五、教学过程：
（一）学生自主探究，实际问题导入：
如图，已知抛物线y =ax2+bx+c（a≠0）经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)三点，直线l是抛物线的对称轴。
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A.、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标。
（二）师生交流辨析
师：问题（1）求抛物线的函数关系式；
考查的知识点是什么？有几种解决的方法？
生一：待定系数法解二次函数，可利用二次函数一般式y =ax2+bx+c（a≠0）代入A、B、C三点坐标，得三元一次方程组解得a、b、c，进而确定二次函数的解析式。
【解答】
(1)将A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：
a−b+c=0
9a+3b+c=0
C =−3，
解得： a =1 b =−2 c =−3
故抛物线的解析式：y=x2−2x−3.
生二：可将A、B两点坐标代入二次函数的交点式y =a(x-x1 )(x-x2)，再将点C坐标代入确定a的值，最后将交点式化为一般式。
师：对于二次函数除了上面这两种还有一种是顶点式y =a(x-h)2+k,是在出现顶点坐标时使用。
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A.、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
师：在直线l上取一点P，使A、B两点到点P的距离之和最短，如何确定最短路径的位置？
生：由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；
解:当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A. 点B的距离之和最短，
此时点P的横坐标x=（-1+3）÷2=1，故P(1,0)；
师：变式（一），将点B换为点C，本问题中的点P又如何确定？
生：最短路径问题，通过作点A的对称点即点B连接BC交直线l于点P，利用两点之间线段最短，可证明。
师：变式（二）在直线l上取一点P，使点P到点A、点C的距离之差最大？
生讨论交流，并作答。
生：连接AC并延长交直线l于点P，利用三角形三边关系，两边之差小于第三边可证明。
师：变式（三）在直线l上取一点P，使点P到点B、点C的距离之差最大？（将点A换作点B）
生讨论辨析，并找到规律。
生：作点B关于直线l的对称点A，使问题转化为变式（二）中的问题进行解答。
师：路径的最值问题主要根据“两点之间线段最短或三角形的三边关系”来解决。
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标。师：如何利用等腰三角形的判定来确定点M的位置。
学生讨论交流回答问题。
生：由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；
可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
如图所示：抛物线的对称轴为直线x=1,设M(1,m),已知A(−1,0)、C(0,−3)，则：
MA 2=m2+4,MC2=(3+m)2 +1=m2+6m+10,AC2=10;
①若MA=MC,则MA2=MC2，得：m2+4=m2+6m+10，解得：m=−1，
②若MA=AC,则MA2=AC2，得：m2+4=10,得：m =；
③若MC=AC,则MC2=AC2，得：m2+6m+10=10,得：m1=0,m2=−6；
当m=−6时，M、A. C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知,符合条件的M点,且坐标为M(1,)(1,)(1,−1)(1,0).
师：（变式一）将问题（3）中的等腰三角形改为直角三角形，如何求解符合条件的点的坐标。
生可模仿上题方法进行分类讨论
生：对直角三角形的斜边进行分类，利用勾股定理得：
① MA2+MC2＝AC2
②MA2+AC2＝MC2
③MC2+AC2＝MA2
（三）小结归纳：
学生谈谈本节课的收获。
（四）当堂检测：
考试说明31页第22题
（五）反思评价
学生对二次函数的定义及最短路径容易掌握，对于探究等腰三角形的情况不够准确熟练，通过本节课学生基本能完整的对存在的情况进行分类讨论，简单的动点静态问题有了进一步的理——对于给出的变式练习也能模仿已有的解题思路得到解答，最后的反馈练习应学生的熟练程度不够未能完成，还需在以后的练习中加以巩固加强。