线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律.doc

线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律
一、知识要点
1. 分比的概念及分比与分点的关系, 分点坐标公式, 特殊分点(中点、△重心)坐标公式, 求的三种方法.
2. 向量的夹角, 向量的数量积, 投影, 向量垂直的充要条件, 数量积的性质及运算率, 向量模的崭新求法.
二、题型
(一)选择题
1. 设点 在有向线段 的延长线上， 分 所成的比为 ，则（   ）A．    B．    C．    D．
2. 在ΔABC中,若( + ) · ( － )=0,则ΔABC为 （ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
3. 若· + = 0, 则ΔABC为 （ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
4. 已知点 、 ，点 分线段 成两部分，其中 ，则 的值是（   ） A．      B．     C．     D．
5. 若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·＝（　）．
A．　　　B．　　　　C．　　　　D．
6. 若点 分 的比和点 分 的比恰好互为倒数，则点 分 的比为（  ）
A．1   B．2或    C．2或    D．不确定
7. 已知点 关于点 的对称点是 ，则点 到原点的距离是〔   〕 A．     B．    C．4    D．
8. 下列各式中正确的是 （ ）
（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb), （2）|a·b|=|a|·|b|, (3) (a ·b)· c=a · (b ·c), （4）(a+b) · c= a·c+b·c A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对.
9. 若|a|=|b|=|a－b|,则b与a+b的夹角为 （ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
10. 设、是非零向量，（+）＝+是⊥的（　）．
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件
11. 已知向量,向量则的最大值，最小值分别（ ）
A． B． C．16，0 D．4，0
12. 设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 （ ）
①(ab)c－(ca)b=0 ②|a| －|b|< |a－b|
③(bc)a－(ca)b不与c垂直 ④(3a+2b)(3a－2b)= 9|a|2－4|b|2
其中真命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
(二)填空题:
13. 已知 、 、 三点共线，且 ， ，若 点的横坐标为6，则 点的纵坐标为___________．

14. 已知e是单位向量,求满足a∥e且a·e=－18的向量a=__________.

15. 设a=(m+1)i－3j, b=i+(m－1)j, (a+b) ⊥(a－b), 则m=________.

16. a与d=b－关系为________.
(三)解答题:
17. 设向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

18. 非零向量，满足（+）⊥（2-），（-2）⊥（2＋），求、的夹角.

19. 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10), 若=+λ· (λ∈R), 试求λ为何值时，点P在一、三象限角平分线上?点P在第三象限内?

20. 己知向量a,b均为非零向量,当|a+tb|取最小值时,
①求t的值；
②求证：b与a+tb垂直

21. 已知：=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ), +=(,) 求: (1) (cos(α-β),sin(α-β)); (2)tan

22. 若直线 与连接 、 两点的线段有交点，求实数 的取值范围．

参考答案
一选择题: ACABB ADCAC DD
二填空题
13. －9; 14. －18; 15. －2; 16. 垂直
三、解答题:
17. 解: ∵，
故，
解之 ．
另有，
解之，
∴．
18. 解: 由， 解得
,
故||||=－·,
cos==－,
而[0, 180]
故=arccos(－)
19. 解: 设P(x, y)
则=(x－2, y－3),
=(3, 1), =(5, 7)
x－2=3+5, y－3=1+7
x=5+5, y=4+7
=时, 点P在第一三象限的平分线上;
<－1时, 点P在第三象限.
20. 分析：因为|a+tb|为实数，且|a+tb|2=（a+tb）2展开以后成为关于t的二次函数.
解: ①，
∴当时，|a+tb|取得最小值.
②当时，
b·（a+tb）b·a+tb·b
=b·a+t|b|2
=a·b.
∴b⊥（a+tb）.
21. 解：(1)依题意，可得：

①2+②2得2+2cos(α-β)=-1
∴cos(α-β)=-，
从而sin(α-β)=±
∴(cos(α-β),sin(α-β))=(- ,±)
(2)由①得：2cos·cos= ③
由②得：2sin ·cos= ④
得：tan=
22．解：当直线过 点时，有 ，∴ .
　　　　 当直线过 点时，有 ，∴ .
　　　　 当直线与线段 的交点在 、 之间时，设这个交点 分 的比为 ，它的坐标为 ，
则 ， .
　　 而直线过 点，则 ，
　　 整理，得 .
　　 由 ，得 ，解得 或 .
　　 故所求实数 的取值范围为 或 。