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定比分点问题探析
湖北随州随州二中 操厚亮 QQ：63599138 Tel:[phone]
解析几何是我们高中阶段的重要内容，解析几何中的运算，尤其是方法的选用会直接影响到运算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的一块内容，无论是课本还是平时的练习，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简化大量的运算。
定比分点用法较多，大体分为：直接与间接。直接用法有三种：
1、定义直接用： （采用向量来解决）
例如 在OAB中，，OD是AB边上的高，若，则实数等于 （ ）
A B C D
本题直接采用向量来解答：

2、直接用公式 ；
3、直接用向量相等 。
直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比较多，大致有以下几种：

一、将线段比转化为定比分点
例如：已知 ,，且 ，求适合条件的点P坐标。
分析：这你种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。

二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。
例如：设椭圆E： 的两个焦点是与 （），且椭圆上存在一点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，（1） 求实数m的取值范围；（2）设是相应焦点的准线，直线PF2与相交于点Q，若，求直线PF2方程。
解：（1） ；（2）设 点P在椭圆上得……㈠
因为直线PF1与直线PF2垂直
所以 （）……㈡
由㈠ ㈡ 得
由知
（1） 时 无解。
（2） 时， 得 m=2 。此时
所以直线PF2方程为 。
本题把 转化为相似比来解决，从而使问题化难为易。

三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化，解题思路明确。
例如 已知椭圆E的方程为 （），双曲线H：的两条渐近线为， ，过椭圆E的右焦点F的直线，又与交于点P,设与椭圆E的两个交点由上至下依次为A，B。
（1） 当， 与夹角为60o,且时，求椭圆E的方程。（2）求的最大值。
看见这道题很容易想到用第二定义去做，结果发现比值依赖的范围，而的范围需要解方程组，从而使问题复杂化，若使用定比分点则问题变得简洁。
解：（1） 略。（2）不妨设： ：
即P()
设A分的比为，则A() 代入，并整理
而 所以 即 的最大值为。

四、定比分点与整体代换思想联系在一起。
例如 双曲线 H: 的离心率 e=2，（1） 求双曲线的渐近线方程；（2） 若A、B分别为，上的动点，且，求线段AB中点M的轨迹方程。
略解：（1） 渐近线方程：。
（2） 设 ， A，B 中点M

所以 中点M的轨迹方程 。
五、直接求定比分点中的的值
像这种求的题，我们可以直接通过定比分点定义计算得到 ，也可以用几何办法解决。
例如 已知动点P到双曲线的两个焦点 F1 ,F2的距离之和为定值2a（），且的最小值为。 （1）求动点P的轨迹方程；
（2） 若已知点D（0，3），M、N在动点P的轨迹上，且，求实数的取值范围。
解：（1）点P的轨迹方程为
（2） 解法一： 设， ，

所以
而 所以 。
上面的解法，属于纯解析几何解法，其实，我们可以用几何办法很快解决。
如图：图一，是最大的时候，
图二 是最小的时候，

六、根据定比分点中的范围求最值或值域。
例如 已知 O、A、B三点的坐标分别为O（0，0）、A（3，0）、B（0，3），点P在线段 AB上，且 ，则的最大值为 （ ）
A 3 B 6 C 9 D 12
解：设，

，所以答案选 C 。
这种题显然是利用的取值范围来求值简单。

七、比而不求，转化为向量平行来解决。
我们看这样一道题目，看似定比分点，仔细审题，这道题其实可以比而不求，转化为向量平行来解决。
例如 已知椭圆的弦PB过其中心O，点A是椭圆的右顶点，满足
。 （1） 求点P坐标；（2）若椭圆上有两点C、D（异于A、B） 且，问是否存在实数，使得？说明理由
这道题，很容易想到用定比分点把求出来，从而证明存在，仔细一看，题目并没有要我们求，因而我们可以智取，只需求证与共线即可。
解：（1）点P坐标（1，1）。
（2） 假设存在，使得，由 知，的平分线垂直于OA，则，。不妨设点P坐标（1，1），设直线PC为 y-1= k (x-1) 联立方程组
解得C
又直线PD为 y-1= -k (x-1) ，易得D为
所以 ，而 所以 CD∥AB
所以 存在，使得
当然，与定比分点的题型解法，多种多样，这里只简单提几种情况，有待进一步发掘和学习。

参考资料：《五年高考三年模拟》 首都师范大学出版社
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