中职数学排列组合与二项式.pptx
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1、第二十一章第二十一章 排列排列 组合组合 二项式定理二项式定理知识结构网络图:知识结构网络图:排列与组合排列与组合二项式定理二项式定理基本原理基本原理排列排列组合组合排列数公式排列数公式组合数公式组合数公式组合数的两个性质组合数的两个性质二项式定理二项式定理二项式系数的性质二项式系数的性质一、分类计数原理(加法原理):一、分类计数原理(加法原理):完成一件事情,完成一件事情,有有n n类方式类方式,在第在第1 1类方式中有类方式中有m m1 1种不同的方法种不同的方法,在第在第2 2类方式中有类方式中有m m2 2种不同的方法,种不同的方法,在第在第n n类方式中有类方式中有m mn n种不同
2、的方法。种不同的方法。那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n种不同的方法种不同的方法.要点:要点:(1 1)分类;)分类;(2 2)相互独立;)相互独立;(3 3)N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n(各类方法之和)(各类方法之和)复习复习第十一章概率与统计初步第十一章概率与统计初步分步计数原理(乘法原理)分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成完成一件事,需要分成n n个步骤个步骤,做第做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法,种不同的方法,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的方法,种不同的方法,做第做第n n步有步有m m
3、n n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有N N=m m1 1m m2 2m mn n种不同的种不同的方法方法.要点:要点:(1 1)分步;)分步;(2 2)每步缺一不可,依次完成;)每步缺一不可,依次完成;(3 3)N=m1m2mn(各步方法之积)(各步方法之积)总结出两个原理的联系、区别:总结出两个原理的联系、区别:分类计数原理分类计数原理分步计数原理分步计数原理联系联系区别区别1 1区别区别2 2完成一件事,共有完成一件事,共有n n类类办法,关键词办法,关键词“分类分类”完成一件事,共分完成一件事,共分n n个个步骤,关键词步骤,关键词“分步分步”每类办法相互
4、独立,每类办法相互独立,每类方法都能独立地每类方法都能独立地完成这件事情完成这件事情各步骤中的方法相互依各步骤中的方法相互依存,存,只有各个步骤都完只有各个步骤都完成才算完成这件事成才算完成这件事都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题都是研究完成一件事的不同方法的种数的问题二、排列的概念:二、排列的概念:从从n个不同元素中,任取个不同元素中,任取m(mn)个元素(这里的被个元素(这里的被取元素各不相同)取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列,叫做从,叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个排列排列.说明:说明:(1)排列的定义包括两个方面:)排
5、列的定义包括两个方面:取出元素,取出元素,按一定的顺序排列按一定的顺序排列;(2)两个)两个排列相同排列相同的条件:的条件:元素完全相同,元素完全相同,元素的排列顺序也相同;元素的排列顺序也相同;(3)当)当m=n时,称为时,称为n个元素的个元素的全排列全排列.排列数的定义:排列数的定义:从从n n个不同元素中,任取个不同元素中,任取m(mn)m(mn)个元素的个元素的所有排列的个数叫做从所有排列的个数叫做从n n个元素中取出个元素中取出m m元素元素的的排列数排列数.用符号表示用符号表示:区别排列和排列数的不同:区别排列和排列数的不同:“一个排列一个排列”是指:从是指:从n个不同元素中,任取
6、个不同元素中,任取m个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数排列数”是指从是指从n个不同元素中,任取个不同元素中,任取m(mn)个元素的所有排列的个数,是一个数,)个元素的所有排列的个数,是一个数,所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列.排列数公式排列数公式 从从n个元素个元素a1,a2,a3,an中任取中任取m个元素填空,一个元素填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得到,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填
7、法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数由分步因此,所有不同的填法的种数就是排列数由分步计数原理完成上述填空共有计数原理完成上述填空共有 种填法种填法.说明:说明:(1)公式特征:第一个因数是)公式特征:第一个因数是n,后面每,后面每一个因数比它前面一个少一个因数比它前面一个少1,最后一个因数,最后一个因数是是n-m+1,共有,共有m个因数;个因数;(2)全排列:当)全排列:当m=n时时,即即n个不同元素个不同元素全部取出的一个排列全部取出的一个排列.全排列数:全排列数:排列数公式阶乘表示:排列数公式阶乘表示:一般地,从一般地,从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组,
8、叫做从个元素并成一组,叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的个元素的一个组合一个组合.说明:说明:不同元素;不同元素;“只取不排只取不排”无序性;无序性;相同组合相同组合:元素相同:元素相同 三、组合的概念:三、组合的概念:组合数的概念:组合数的概念:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个个元素的所有组合的个数,叫做从元素的所有组合的个数,叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数用符号表示用符号表示:组合数公式组合数公式:一般地,求从一般地,求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数 可以分如下两步:可以分如下两步
9、:先求从先求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的组合数素的组合数 ;求每一个组合中求每一个组合中m个元素全排列数,个元素全排列数,根据分步计数原理得:根据分步计数原理得:组合数性质组合数性质1:组合数性质组合数性质2:排列和组合的区别和联系:排列和组合的区别和联系:名名 称称排排 列列组组 合合定义定义符号符号公式公式关系关系性质性质 ,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素,素,按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素,素,把它并成把它并成一组一组全排列全排列:n个不同元素全部取出的一个排列个不同元素全部取出的一个排
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