差商及其性质.ppt
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1、 4.1 差商(均差)及性质差商(均差)及性质1 差商(均差)差商(均差)已知已知y=函数表函数表则则 在在上平均变化率分别为:上平均变化率分别为:即有定义:即有定义:定义为定义为f(x)的差商的差商4 差商与牛顿插值多项式差商与牛顿插值多项式定义定义4为函数为函数在在的的一阶差商一阶差商(一阶一阶均差均差););称为称为y=在点在点的的二阶差商二阶差商(二阶均差二阶均差);(3)一般由函数)一般由函数y=的的n1 1阶差商表可定义函数的阶差商表可定义函数的n阶阶差商。差商。称为函数称为函数y=在在点的点的n阶差商阶差商(n阶均差阶均差)。,称,称(1 1)对于)对于 的一阶差商表,再作一次差
2、商,即的一阶差商表,再作一次差商,即(2)由函数)由函数y=即即n1 1阶阶差商差商2 基本性质基本性质定理定理5(2)k 阶差商阶差商关于节点关于节点是对称的,或说是对称的,或说均差均差与节点顺序无关,与节点顺序无关,即即例如:例如:共共6个个的线性组合,的线性组合,即即的的k阶差商阶差商是函数值是函数值(1)分析分析 :当当k=1=1时时,(1)可用归纳法证明。可用归纳法证明。(2)(2)利用利用(1)(1)很容易得到。只证很容易得到。只证(1)(1)证明:证明:(1)当)当k =1=1时时,(0 阶差商阶差商)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商k 阶差商阶差商 表表2.43
3、 差商表差商表 计算顺序计算顺序:同列维尔法,即每次用前一列同行的差商与前一列同列维尔法,即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。上一行的差商再作差商。4.2 牛顿插值多项式牛顿插值多项式已知已知函数表(函数表(4.1),由差商定由差商定义义及及对对称性,得称性,得 1 牛顿插值多项式的推导牛顿插值多项式的推导将将(b)式两式两边边同乘以同乘以,抵消抵消抵消抵消抵消抵消(d)(d)式两边同乘以式两边同乘以,把所有式子相加把所有式子相加,得得,(c),(c)式两边同乘以式两边同乘以记记 -牛顿插值多项式牛顿插值多项式-牛顿插值余项牛顿插值余项可以可以验证验证 ,即,即 满满足插足
4、插值值条件条件,因此因此可得以下可得以下结论结论。定理定理6 则满足插值条件则满足插值条件的插值多项式为:的插值多项式为:(牛顿插值多项式)(牛顿插值多项式)其中,其中,-牛顿插值多项式牛顿插值多项式-牛顿插值余项牛顿插值余项2 n+1+1阶差商函数与导数的关系阶差商函数与导数的关系由由n次插值多项式的唯一性,则有次插值多项式的唯一性,则有,牛顿插值牛顿插值多项式多项式与拉格朗日插值多项式与拉格朗日插值多项式都是次数小于或等于都是次数小于或等于n的多项式的多项式,只是表达方式不同只是表达方式不同.?因为因为 而而 的基函数可为的基函数可为:已知已知 函数表函数表牛顿插值多牛顿插值多项式系数项式
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