高二数学:第二章第十节函数模型及其应用PPT课件.ppt
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1、第十节 函数模型及其应用1.1.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的上的单调单调性性单调单调_函数函数单调单调_函数函数单调单调_函数函数增增长长速度速度越来越越来越_越来越越来越_相相对对平平稳稳图图象的象的变变化化随随x x值值增大增大,图图象与象与_轴轴接近平行接近平行随随x x值值增大增大,图图象与象与x x轴轴接近接近_随随n n值变值变化化而不同而不同增增增增增增快快慢慢y y平行平行【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考:对于直线上升
2、、指数增长、对数增长三种增长模型,对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型,你作为老板,希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长你作为老板,希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长?提示提示:公司的利润选择直线上升或指数模型增长公司的利润选择直线上升或指数模型增长,而员工奖金选而员工奖金选择对数模型增长择对数模型增长.(2)(2)当当x x越来越大时,下列四个函数中,增长速度最快的是越来越大时,下列四个函数中,增长速度最快的是_._.y=2y=2x x,y=x,y=x1010,y=lgx,y=10 x,y=lgx,y=10 x2 2【解析解析】由函数图象知,由函数图象知,y=2y=2x x的增
3、长速度最快的增长速度最快.答案答案:(3)(3)函数函数y=2y=2x x与与y=xy=x2 2的图象的交点个数是的图象的交点个数是_._.【解析解析】由由y=2y=2x x与与y=xy=x2 2的图象知有的图象知有3 3个交点个交点.答案答案:3 3(4)(4)当当2 2x x4 4时时,2,2x x,x,x2 2,log,log2 2x x的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中画出函数画出函数y=logy=log2 2x,y=xx,y=x2 2,y=2,y=2x x的图象的图象,在区间在区间(2(2,4)4)内从上往下依次是内从上往下依次是
4、y=xy=x2 2,y=2,y=2x x,y=log,y=log2 2x x的图象,的图象,所以所以x x2 22 2x xloglog2 2x.x.答案答案:x x2 22 2x xloglog2 2x x2.2.常见的几种函数模型常见的几种函数模型(1)(1)直线模型直线模型:一次函数模型一次函数模型 _(k0),_(k0),图象增长特点是直图象增长特点是直线式上升线式上升(x(x的系数的系数k k0),0),通过图象可以直观地认识它通过图象可以直观地认识它,特例是特例是正比例函数模型正比例函数模型y=kx(ky=kx(k0).0).(2)(2)反比例函数模型反比例函数模型:_(k:_(k
5、0)0)型型,增长特点是增长特点是y y随随x x的增大而的增大而减小减小.y=kx+by=kx+b(3)(3)指数函数模型指数函数模型:y=ab:y=abx x+c(b+c(b0,b1,a0)0,b1,a0),其增长特点,其增长特点是随着自变量的增大是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快函数值增大的速度越来越快(底数底数b b1,a1,a0)0),常形象地称为指数爆炸,常形象地称为指数爆炸.(4)(4)对数函数模型,即对数函数模型,即y=mlogy=mloga ax+n(ax+n(a0,a1,m0)0,a1,m0)型,增长型,增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢特点是随
6、着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢(底数底数a a1,m1,m0).0).(5)(5)幂函数模型幂函数模型,即即y=axy=axn n+b(a0)+b(a0)型,其中最常见的是二次型,其中最常见的是二次函数模型函数模型:_(a0):_(a0),其特点是随着自变量的增,其特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大大,函数值先减小,后增大(a(a0).0).y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(6)(6)分段函数模型:分段函数模型:y=,y=,其特点是每一段自变量其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同变化所遵循的规律不同.可以先将其当作几个问题,将各段的可以先将其当作几个问题,将各
7、段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围不同取值范围不同.【即时应用即时应用】(1)(1)据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近5050年年内减少了内减少了5%5%,如果按此速度,设,如果按此速度,设20112011年的冬季冰雪覆盖面积为年的冬季冰雪覆盖面积为m m,从,从20112011年起,经过年起,经过x x年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积年后,北冰洋冬季冰雪覆盖面积y y与与x x的的函数关系式是函数关系式是_._.(2)(2)某公司为了适应市场需求对产品结
8、构进行了重大调整,调某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢,若要建立恰当的整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润函数模型来反映该公司调整后利润y y与时间与时间x x的关系,可选用以的关系,可选用以下四种函数模型中的下四种函数模型中的_._.一次函数,一次函数,二次函数,二次函数,指数型函数,指数型函数,对数型函数对数型函数.(3)(3)某种电热水器的水箱盛满水是某种电热水器的水箱盛满水是200 L200 L,加热到一定温度,即,加热到一定温度,即可用来洗浴可用来洗浴.洗浴时,已知每分钟放水洗浴时,
9、已知每分钟放水34 L34 L,若放水,若放水t t分钟时,分钟时,同时自动注水总量为同时自动注水总量为2t2t2 2 L.L.当水箱内的水量达到最少时,放水当水箱内的水量达到最少时,放水程序自动停止,现假定每人洗浴用水量为程序自动停止,现假定每人洗浴用水量为65 L65 L,则该热水器一,则该热水器一次至多可供次至多可供_人洗浴人洗浴.【解析解析】(1)(1)设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,a,则由题则由题意得意得1-0.05=a1-0.05=a5050.a=a=y=()y=()x xm=m,xNm=m,xN*.(2)(2)根据实际情况得根据实际情况得
10、,对数函数与公司调整后利润对数函数与公司调整后利润y y与时间与时间x x的关的关系相吻合系相吻合.(3)(3)在放水程序自动停止前在放水程序自动停止前,水箱中的水量为水箱中的水量为y=2ty=2t2 2-34t+200=2(t-8.5)-34t+200=2(t-8.5)2 2+55.5+55.5,由二次函数的性质得经过,由二次函数的性质得经过8.5 min8.5 min,放水停止,放水停止,共出水共出水34348.5=289(L)8.5=289(L),289289654.45.654.45.故至多可供故至多可供4 4人洗浴人洗浴.答案:答案:(1)y=m,xN(1)y=m,xN*(2)(2)
11、(3)4(3)4 热点考向热点考向 1 1 一次函数与二次函数模型一次函数与二次函数模型【方法点睛方法点睛】利用已知函数模型解决实际问题的步骤利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数关系式,或可确定其函数模型的图若题目给出了含参数的函数关系式,或可确定其函数模型的图象象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再再用求得的函数解析式解决实际问题用求得的函数解析式解决实际问题,对于已知函数解析式的可对于已知函数解析式的可以直接利用函数相关性质解决实际问题以直接利用函数相关性质解决实际问题.【提醒提醒】解函数应用题常见的错
12、误:解函数应用题常见的错误:(1)(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面;不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面;(2)(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.【例例1 1】(1)(1)某产品的总成本某产品的总成本y(y(万元万元)与产量与产量x(x(台台)之间的函数关之间的函数关系式是系式是y=3 000+20 x-0.1xy=3 000+20 x-0.1x2 2(0 x240,xN)(0 x240,xN),若每台产品的售价,若每台产品的售价为为2525万元,则生产者不亏本时万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本
13、销售收入不小于总成本)的最低的最低产量是产量是()()(A)100(A)100台台 (B)120(B)120台台(C)150(C)150台台 (D)180(D)180台台(2)(2012(2)(2012厦门模拟厦门模拟)某省两相近重要城市之间人员交流频繁,某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖车,已知该车每次拖4 4节车厢,一日能来回节车厢,一日能来回1616次,如果每次拖次,如果每次拖7 7节车厢,则每日能来回节车厢,则每日能来回1010次次.若每日来回的次数是车头每次
14、拖挂车厢节数的一次函数,求若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式;此一次函数解析式;在在的条件下,每节车厢能载乘客的条件下,每节车厢能载乘客110110人,问这列火车每天人,问这列火车每天来回多少次才能使营运人数最多?并求出每天最多营运人数来回多少次才能使营运人数最多?并求出每天最多营运人数.【解题指南解题指南】(1)(1)结合二次函数的性质及实际意义,求解一元结合二次函数的性质及实际意义,求解一元二次不等式即可二次不等式即可.(2)(2)理解题意,用待定系数法求理解题意,用待定系数法求y=kx+b;y=kx+b;转化为二次函数求最大值转化为二次函数求最大值.【规
15、范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.要使生产者不亏本,要使生产者不亏本,则有则有3 000+20 x-0.1x3 000+20 x-0.1x2 225x,25x,解上式得:解上式得:x-200 x-200或或x150,x150,又又0 x240,xN0 x240,xN,x x的最小值为的最小值为150.150.(2)(2)设每日来回设每日来回y y次,每次挂次,每次挂x x节车厢,节车厢,由题意由题意y=kx+b,k0,y=kx+b,k0,由由x=4x=4时时y=16y=16,x=7x=7时时y=10y=10得下列方程组:得下列方程组:,解得:,解得:k=-2,b=24.k=-2,b=24
16、.y=-2x+24.y=-2x+24.由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运由题意知,每日挂车厢最多时,营运人数最多,设每日营运S S节车厢,节车厢,则则S=xy=x(-2x+24)=-2xS=xy=x(-2x+24)=-2x2 2+24x=-2(x-6)+24x=-2(x-6)2 2+72.+72.所以当所以当x=6x=6时,时,S Smaxmax=72=72,此时,此时y=12,y=12,则每日最多营运人数为则每日最多营运人数为11011072=7 920(72=7 920(人人).).答:这列火车每天来回答:这列火车每天来回1212次,才能使营运人数最多次,才能使营运人数最
17、多.每天最多每天最多营运人数为营运人数为7 920.7 920.【反思反思感悟感悟】1.1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大自变量的系数大于于0)0)或直线下降或直线下降(自变量的系数小于自变量的系数小于0).0).2.2.二次函数的应用主要有以下方面二次函数的应用主要有以下方面(1)(1)利用二次函数关系式或图象求最值利用二次函数关系式或图象求最值.(2)(2)利用二次函数单调性求参数取值或范围利用二次函数单调性求参数取值或范围.(3)(3)二次函数如果是分
18、段表示,则应注意分段区间端点值的应二次函数如果是分段表示,则应注意分段区间端点值的应用用.(4)(4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围利用二次函数对应方程根的分布求参数范围.【变式训练变式训练】若一根蜡烛长若一根蜡烛长20 cm20 cm,点燃后每小时燃烧,点燃后每小时燃烧5 cm,5 cm,则则燃烧剩下的高度燃烧剩下的高度h(cm)h(cm)与燃烧时间与燃烧时间t(t(小时小时)的函数关系用图象表的函数关系用图象表示为示为()()【解析解析】选选B.B.依题设可知,蜡烛高度依题设可知,蜡烛高度h h与燃烧时间与燃烧时间t t之间构成一之间构成一次函数关系,又次函数关系,又函数图象过点函
19、数图象过点(0(0,20)20)、(4(4,0)0)两点,且该两点,且该图象为一条线段,图象为一条线段,选选B.B.热点考向热点考向 2 2 分段函数模型分段函数模型【方法点睛方法点睛】1.1.解函数应用问题的步骤解函数应用问题的步骤(四步八字四步八字)(1)(1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型初步选择数学模型;(2)(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3
20、)(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)(4)还原:回扣题目本身,将数学问题还原为实际问题的意义,还原:回扣题目本身,将数学问题还原为实际问题的意义,给出结论给出结论.2.2.分段函数在现实生活中的体现分段函数在现实生活中的体现在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数车票价与路程之间的关系,就是分段函数.【提醒提醒】形如形如f(x)=x+(af(
21、x)=x+(a0,x0,x0)0)的对勾分段函数模型在现的对勾分段函数模型在现实生活中有广泛的应用,常利用基本不等式求最值,但要注意实生活中有广泛的应用,常利用基本不等式求最值,但要注意成立的条件,当等号不成立时,采用函数的单调性来解决成立的条件,当等号不成立时,采用函数的单调性来解决.【例例2 2】(2013(2013福州模拟福州模拟)提高过江大桥的车辆通行能力可改提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度在一般情况下,大桥上的车流速度v v(单位:千米单位:千米/小时小时)是车流密度是车流密度x(x(单位:辆单位:辆/千米千米)的
22、函数的函数.当桥当桥上的车流密度达到上的车流密度达到200200辆辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为千米时,造成堵塞,此时车流速度为0 0;当车流密度不超过;当车流密度不超过2020辆辆/千米时,车流速度为千米时,车流速度为6060千米千米/小时,小时,研究表明,当研究表明,当20 x20020 x200时,车流速度时,车流速度v v是车流密度是车流密度x x的一次函的一次函数数.(1)(1)当当0 x2000 x200时,求函数时,求函数v(x)v(x)的表达式的表达式;(2)(2)当车流密度当车流密度x x为多大时,车流量为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观单位时间内通过桥上某观测点
23、的车辆数,单位:辆测点的车辆数,单位:辆/每小时每小时)f(x)=xv(x)f(x)=xv(x)可以达到最大,可以达到最大,并求最大值并求最大值(精确到精确到1 1辆辆/小时小时).).【解题指南解题指南】(1)(1)由车流密度不超过由车流密度不超过2020辆辆/千米时,车流速度为千米时,车流速度为6060千米千米/小时,可得小时,可得0 x200 x20时,时,v(x)=60v(x)=60;又;又20 x20020 x200时,时,车流速度车流速度v v是车流密度是车流密度x x的一次函数,设的一次函数,设v(x)=ax+bv(x)=ax+b,利用,利用x=200 x=200时时v=0v=0
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