常用概率分布.ppt
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1、常用概率分布内 容二项分布PoissonPoisson分布分布正态分布正态分布 分布的概念分布的条件分布的特征 分布的应用概率的意义及相关的一些概念考虑:考虑:确定确定n n之后,阳性数目的概率分布(随机之后,阳性数目的概率分布(随机变量变量X=X=阳性数目)阳性数目)掷一枚均匀钱币掷一枚均匀钱币:P(P(正面朝上正面朝上)0.50.5,P(P(正面朝下正面朝下)0.50.5掷一枚均匀骰子:掷一枚均匀骰子:P(1P(1朝上朝上)P(2P(2朝上朝上)P(6P(6朝上朝上)1/61/6第一节 二项分布二项分布是一种重要的离散型随机变量的分布,又叫伯努利分布(Bernoulli)。二项分布的总体:
2、由非此即彼事件构成的总体。离散型随机变量离散型随机变量的概率的概率掷一枚均匀钱币,其结局可视为一个变量,这个变量的“值”或为“正面朝上”,或为“正面朝下”,而且,不同的值各有一个出现的概率。P(正面朝上)0.50;一般地,一个随机变量含两个要素:1.它是一个变量;2.这个变量可能值的出现各具有一定的概率。概 念与定理:组组合合(combination):从几个元素中抽取x个元素组成一组(不考虑其顺序)的组合方式个数,记Cnx几个相互独立事件同时发生的概率等于各独立事件的概率之积。1.摸球模型一个袋子里有一个袋子里有5 5个乒乓球,其中个乒乓球,其中2 2个黄球,个黄球,3 3个白球,个白球,我
3、们进行摸球游戏,每次摸我们进行摸球游戏,每次摸1 1球,然后放回再摸。先球,然后放回再摸。先后摸后摸100100次,摸到零次黄球的概率?次,摸到零次黄球的概率?(1)(1)第第1 1次摸到白球的概率:次摸到白球的概率:0.60.6(2)(2)第第2 2次摸到白球的概率:次摸到白球的概率:0.60.6 (100)(100)第第100100次摸到白球的概率:次摸到白球的概率:0.60.6100100次都摸到白球的概率:次都摸到白球的概率:0.60.6 0.6=0.60.60.6 0.6=0.6100100摸到摸到3 3次黄球的概率有多大?次黄球的概率有多大?黄黄黄白白白白黄黄黄白白白白白白 概率概
4、率=0.4=0.43 30.60.69797黄黄白黄白白白黄黄白黄白白白白白 概率概率=0.4=0.43 30.60.69797黄黄白白黄白白黄黄白白黄白白白白 概率概率=0.4=0.43 30.60.69797三个特点:二分类:每次摸球只有二种可能的结果,或黄球或白球;独立:各次摸球是彼此独立的;重复:每次摸到黄球(或摸到白球)的概率是固定的。具备以上三点的概率分布就是二项分布。例如:口袋内黑球80%,白球20%,摸球放回,摸5次,黑球出现总次数X的概率函数。例5-1 用针灸治疗头痛,假定结果不是有效就是无效,每一例有效的概率为。某医生用此方法治疗头痛患者3例,2例有效的概率是多少?二项分布
5、二项分布一、概率函数 (概率分布表)二项分布二项分布名词解释:观察结果二项;概率等于二项展开式。二项分布的三个条件二项分布的三个条件各事件相互独立:即任何一件事的出现与否不影响其他事件的发生概率。各事件相互排斥:即二项试验的两种对立的结果不可能同时发生,二者必居其一,而且只有其一。每次试验的条件不变,各事件发生的概率不变。二项概率分布二项概率分布二二项项概概率率分分布布:如如果果一一个个事事件件A A,在在n n次次独独立立试试验验中中,每每次次试试验验都都具具有有概概率率,那那么么这这一一事事件件A A将在将在n n次试验中出现次试验中出现k k次的概率为:次的概率为:(三)二项分布的特征(
6、三)二项分布的特征1 1、二项分布的图形特征、二项分布的图形特征由此可见:&1、二项分布的图形取决于两个参数与n,高峰在=n 处。&2、当接近0.5时,图形是对称的;离0.5愈远,对称性愈差。&3、当n 时,只要不太靠近0或1,特别是nP和n(1-P)都大于5时,二项分布则近似于正态分布。2 2、二项分布的均数与方差、标准差、二项分布的均数与方差、标准差(1)以阳性数计算:已知二项分布的,n,则阳性事件的 均数 n 方差 2 n(1-)标准差(2)以率计算&则平均阳性率 (即样本率的均数为总体率)&方差2(1-)/n&标准差&为率的标准差,反映率的抽样误差大小,也称率的标准误,反应了样本率相对
7、于总体率分布的离散程度。四、二项分布的应用四、二项分布的应用一、概率估计X X为出现阳性的次数,例子见为出现阳性的次数,例子见P51P51二、单侧累计概率计算二、单侧累计概率计算第二节第二节 Poisson 分布分布一、概念&Poisson 分布是一种离散型分布,用以描述罕见事件发生次数的概率分布。&Poisson 分布可看作是发生的概率(或未发生的概率1-)很小,而观察例数很大时的二项分布。&Poisson 分布一般记作()医学领域中医学领域中PoissonPoisson分布的实例分布的实例单位容积(水、牛奶)中细菌的分布;患病率很小的非传染病在人群中的分布野外旷野中单位面积上昆虫(钉螺)的
8、分布计数器中单位格中的细胞数的分布。Poisson 分布的特征分布的特征(泊松分布的数学表达式为:泊松分布的数学表达式为:(在在n n个取样单位内,出现个取样单位内,出现x x0 0,1 1,2 2,n,n个阳性个阳性事件的理论概率分别为下列公式的展开式:事件的理论概率分别为下列公式的展开式:(式中式中P(x)P(x)为出现阳性事件例数为为出现阳性事件例数为x x的理论概率的理论概率,e e为自然对数的底,为自然对数的底,(x x x x是是为观察单位内为观察单位内某稀有事件的发生次数某稀有事件的发生次数,(=n=n 为为总体总体总体总体平均数平均数,在实际应用中可以用在实际应用中可以用在实际
9、应用中可以用在实际应用中可以用样本样本样本样本均数作为均数作为均数作为均数作为总体总体总体总体均数的均数的均数的均数的估计估计估计估计。Poisson Poisson 分布在分布在2020时时,近似于正态分布近似于正态分布。Poisson分布的分布的特点特点:1、Poisson 分布的总体均数与总体方差相等,均为。2、Poisson 分布的观察结果有可加性。如水样的细菌培养。Poisson 分布的应用分布的应用一、概率估计一、概率估计一、概率估计一、概率估计见例见例4-74-7二、二、二、二、单侧累计概率单侧累计概率单侧累计概率单侧累计概率计算计算计算计算见例见例4-9正正 态态 分分 布布
10、及及 其其 运运 用用1 1、概概 念念2 2、图图 形形3 3、特特 征征4 4、面面 积积5 5、正态分布的运用正态分布的运用1、正 态 分 布 的 概 念正态分布(normal distribution):又称Gauss分布,正态分布曲线是一条高峰位于中央(均数所在处),两侧完全对称,两端永远不与横轴相交的钟型曲线。组段频数频率(%)1.22821.14 1.23421.14 1.24074.00 1.246179.71 1.25 2514.29 1.2583721.14 1.26 2514.29 1.270169.14 1.27642.29 1.28210.57 1.2583721.1
11、4 合计175100.00 表表5-4 5-4(体模)骨密度测量值的频率分布表(体模)骨密度测量值的频率分布表2 2、图、图 形形对象分布 概况分布特征数样本数据频数分布表 频数分布图 描述指标()(p)随机变量概率分布表 概率分布图 总体参数()()联系联系:正态分布的函数式为:X+为为总体均数总体均数,为为总体标准差总体标准差。3、正态分布的特点、正态分布的特点1、关于 x=对称。2、在x=处,该概率密度函数为最大值,在 X=处有拐点,表现为钟型曲线。3、曲线下面积为1。4、决定曲线在横轴上的位置。5、决定曲线的形状。正态分布:有两个参数正态分布:有两个参数1、位置参数位置参数 :描述正态
12、分布的集中趋势位置。2、形态参数形态参数 :描述正态分布的离散程度。越小,分布越集中,曲线越“瘦高”;越大,分布越离散,曲线越“肥胖”。记为N(,2),表示均数为,标准差为的正态分布 见图4-5。13314 4、正态分布曲线下面积的分布规律、正态分布曲线下面积的分布规律面积的分布规律由两个参数决定;横轴上、曲线下的面积为1;曲线下的面积就是概率。曲线下,横轴上对称于0的面积相等。正态曲线下面积分布可用公式求得:但求该积分相当困难,可通过以下变换:但求该积分相当困难,可通过以下变换:标准正态分布标准正态分布则Z服从均数为0,标准差为1的标准正态分布。它将均数作为坐标原点,并使新坐标的横轴尺度以
13、为单位。通过该变换,对于通过该变换,对于非标准非标准正态正态分布,可求得曲线下任意(分布,可求得曲线下任意(X X1 1,X X2 2)范围内的面积。)范围内的面积。(-z):其大小相当于z值左侧标准正态曲线下面积。见书P431,统计用表。当z值一定时,曲线下:左侧面积:(-z)右侧面积:1(-z)中间面积:12(-z)常用:常用:x x取值在区间取值在区间 当资料是样本资料,且样本含量较大时,总体均数 可用样本均数 代替;总体标准差 可用样本标准差s代替;正态分布曲线下的面积分布规律,可以写成 s;1.96s;2.58s 。正态分布和标准正态分布曲线下面积分布规律正态分布和标准正态分布曲线下
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