线性代数5-3-4相似矩阵2概要PPT课件.ppt

的的相似矩阵相似矩阵，定义定义7(P.121)一一、相似矩阵、相似矩阵相似变换阵相似变换阵.3 相似矩阵（相似矩阵（矩阵之间的又一种关系）矩阵之间的又一种关系）相似变换相似变换又称又称A与与B相似相似.AB 存在可逆阵存在可逆阵P,Q,使得使得 PAQ=B对方阵对方阵A和和B，若存在可逆阵，若存在可逆阵P,当然当然A与与B的关系更密切，的关系更密切，称作相似称作相似.1.二、相似矩阵的性质二、相似矩阵的性质 2 矩阵相似具有自反性、对称性、传递性矩阵相似具有自反性、对称性、传递性.1 A与与B相似相似？A与与B等价等价.相似与等价的关系相似与等价的关系 3 与数量阵与数量阵kE相似的矩阵只有相似的矩阵只有kE.4 A与与B相似相似,则则 5 A与与B相似相似 2.相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征值从而有相同的特征值.6 定理定理3(P121)证证这表明这表明A与与B有相同特征值有相同特征值设设 A与与B 相似，相似，反之不然，特征值相同的矩阵不一定相似反之不然，特征值相同的矩阵不一定相似!推论推论(P.122)3.矩阵矩阵 A与对角阵与对角阵相似相似,不一定！不一定！考虑方阵与对角阵考虑方阵与对角阵 相似的条件！相似的条件！关于对角阵已经有了一些结果，需要进一步的研究关于对角阵已经有了一些结果，需要进一步的研究解决了矩阵解决了矩阵 A与对角阵与对角阵相似时相似时,的求法的求法!4.则则(p122)对一般矩阵对一般矩阵A，是是A的特征多项式，的特征多项式，当当 与与 相似时相似时,容易证明容易证明哈密尔顿哈密尔顿-凯莱定理（难证）凯莱定理（难证）可逆可逆,是是A的特征值的特征值O5.若矩阵若矩阵 A与对角阵与对角阵相似相似,三、矩阵可相似对角化的概念与条件三、矩阵可相似对角化的概念与条件则称矩阵则称矩阵 A可相似对角化可相似对角化.2、条件、条件 n 阶矩阵阶矩阵A与对角阵相似的与对角阵相似的充分必要条件充分必要条件为为 A 有有n 个个线性无关的特征向量线性无关的特征向量.矩阵矩阵 A可相似对角化时，可相似对角化时，相似变换阵相似变换阵P为为对角相似变换阵对角相似变换阵.推论推论1：若若A有有n个相异特征值个相异特征值,则则A可相似对角化可相似对角化.推论推论2：若：若A有有r(n)个相异特征值个相异特征值,解空间的维数等于解空间的维数等于则则A可相似对角化可相似对角化定理定理(P.123定理定理4）1、概念、概念否则否则,不可不可。即存在即存在P可逆可逆,使使 ，6.定理的证明定理的证明线性相关性？线性相关性？A与与对对角角阵阵相相似似 A有有n个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量P 的的列向量列向量 是是A的属于特征值的属于特征值 的的特征向量特征向量7.由充分性证明知由充分性证明知，若已知若已知A 的的 n 个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量 对角相似变换阵对角相似变换阵.8.四、相似对角化的方法四、相似对角化的方法 1、求求A的特征值的特征值：(n个特征值相异时，一定可对角化个特征值相异时，一定可对角化);2、设相异特征值为：设相异特征值为：若每个方程组解空间的维数都分别若每个方程组解空间的维数都分别则则A可对角化可对角化；若某一个方程组解空间的维数若某一个方程组解空间的维数则则A不可对角化不可对角化；3、A可对角化时，可对角化时，令令9.解解例、例、P=?可对角化时，可对角化时，相似变换阵不惟一，相似变换阵不惟一，变成的对角阵也不惟一变成的对角阵也不惟一;不计对角线上的元素的顺序，则惟一确定不计对角线上的元素的顺序，则惟一确定 A的特征值的特征值.10.分析例分析例5，例，例6，例，例7中矩阵是否可对角化？中矩阵是否可对角化？11.例例11（p123)问问x为何值时，矩阵为何值时，矩阵A能对角化？并在可对角能对角化？并在可对角化时，求可逆矩阵化时，求可逆矩阵P，使，使 为对角阵为对角阵.因此，当因此，当X=-1时，矩阵能对角化时，矩阵能对角化.什麽矩阵一定有什麽矩阵一定有n个线性无关的特征向量呢？个线性无关的特征向量呢？实实 对对 称称 阵阵！12.4 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的对角化对称矩阵对称矩阵实矩阵实矩阵 A为实对称矩阵为实对称矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量有特殊好的性质实对称矩阵的特征值、特征向量有特殊好的性质定理定理5(P.124)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.特征向量也可取为实向量特征向量也可取为实向量一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质证明证明P.124 （自学）（自学）13.定理定理5(P.126)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.证证两式相减：两式相减：非实对称阵的特征值非实对称阵的特征值不一定是实数！不一定是实数！14.实对实对称矩阵的称矩阵的相异特征值相异特征值所属的特征向量必所属的特征向量必正交正交。证证定理定理6(P.124)一一般般矩矩阵阵相相异异特特征征值值所所对对应应的的特特征征向向量量线线性性无无关关 但但 不不 能能 保保 证证 它它 们们 是是 正正 交交 的的,而而证毕证毕15.特特征征值值 的的重重数数k 对对应应的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量的的个个数数n R(AE)个个若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 的的 k 重特征值重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有所对应的线性无关的特征向量恰好有 k 个个一般矩阵一般矩阵A 二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化 矩阵矩阵A一定有一定有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量矩阵矩阵 A一定可以相似对角化一定可以相似对角化实对称矩阵实对称矩阵 A 的的 k 重特征值重特征值 所对应的线性无关的特征向量恰有所对应的线性无关的特征向量恰有 k个个 实对称矩阵一定可以相似对角化实对称矩阵一定可以相似对角化16.定理定理 实对称阵实对称阵A 一定与对角阵一定与对角阵相似相似.推论推论(P.125)n 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 A 的的 k 重特征值重特征值 所对应的线性无关所对应的线性无关 的特征向量恰有的特征向量恰有 k 个。个。即即定理不证定理不证（含有重特征值）。（含有重特征值）。作为可对角化的必要条件证明作为可对角化的必要条件证明17.推论推论(P.125)由定理知，由定理知，对称阵对称阵A与对角阵与对角阵 相似相似即矩阵即矩阵 与对角阵与对角阵 相似相似证毕证毕18.用用可逆矩阵可逆矩阵将实对称矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：化为对角阵的步骤：它们的重数依次为它们的重数依次为注意？注意？由属于实对称矩阵的相异特征值的特征向量正交必无关由属于实对称矩阵的相异特征值的特征向量正交必无关H为将为将A对角化的相似变换阵对角化的相似变换阵19.定理定理7(P.124)实对称阵实对称阵A 一定与对角阵一定与对角阵正交相似正交相似.证证由实对称矩阵的相异特征值的特征向量正交，由实对称矩阵的相异特征值的特征向量正交，实实对对称称矩矩阵阵A一一定定与与对对角角矩矩阵阵相相似似 且对角相似变换阵可取为正交矩阵且对角相似变换阵可取为正交矩阵及施密特正交化方法及施密特正交化方法得得A的的n个两两正交的单位特征向量，以其为列构成矩阵个两两正交的单位特征向量，以其为列构成矩阵P,（定理（定理4的充分性证明）的充分性证明）（一重特征值的特征向量只做单位化）（一重特征值的特征向量只做单位化）上述结论的推论上述结论的推论20.注意？注意？用用正交矩阵正交矩阵将实对称矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：化为对角阵的步骤：它们的重数依次为它们的重数依次为用施密特正交化方法将用施密特正交化方法将 正交化、正交化、（一重特征值的特征向量只做单位化）（一重特征值的特征向量只做单位化）21.解解例例12(P.125)(?)22.再单位化再单位化23.