线性代数向量的定义及运算.ppt

第四章第四章 向量空间向量空间平面上的向量的全体：平面上的向量的全体：任意任意规定加法和数乘为：规定加法和数乘为：易见向量的加法和数乘满足矩阵的易见向量的加法和数乘满足矩阵的8 8条运算规律条运算规律.于是于是 就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的就是平面上全体向量的集合，具有两个封闭的运算（加法和数乘），这两个运算适合运算（加法和数乘），这两个运算适合8条规律条规律.4.1 向量的定义及运算向量的定义及运算 同样，（欧式）空间中的向量视为同样，（欧式）空间中的向量视为即实数域上所有三维向量的全体即实数域上所有三维向量的全体.类似地规定类似地规定向量加法和数乘，加法和数乘运算也适合向量加法和数乘，加法和数乘运算也适合8条条规律规律.n维行向量和维行向量和n维列向量都称为维列向量都称为n维向量维向量(vector)，n维向量常用小写黑体字母表示维向量常用小写黑体字母表示.将将2、3维向量推广到维向量推广到n维向量维向量.定义定义4.1.1 由由n个数构成的有序数组，记作个数构成的有序数组，记作称为称为n维行向量维行向量；若记作；若记作则称则称 为为n维列向量维列向量.称数称数 为为 的第的第i个分量个分量.例：例：n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量例：例：n-1次代数多项式次代数多项式系数向量系数向量n维向量的实际意义：维向量的实际意义：时，时，维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象例：确定飞机的状态，需要例：确定飞机的状态，需要以下以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量定义定义4.1.2 设两个向量设两个向量则称向量则称向量与与相等相等，记作，记作=.（1）如果它们对应的分量分别相等，即）如果它们对应的分量分别相等，即（3）数量乘法数量乘法：k为实数，称向量为实数，称向量（2）加法加法：称向量：称向量为为与与的和，记作的和，记作为为 k与与的数乘，记作的数乘，记作（5）称）称 为为的负向量，记作的负向量，记作 -.因而可以定义向量的减法运算：因而可以定义向量的减法运算：（4）分量全为）分量全为0的向量的向量 称为零称为零向量，记作向量，记作0（注意区别数零和零向量）（注意区别数零和零向量）.对任意的对任意的n维向量维向量,及任意的数及任意的数k,l，向量的线，向量的线性运算满足下面八条基本的运算规律：性运算满足下面八条基本的运算规律：向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的向量的加法以及数与向量的数乘统称为向量的线性运算，这些运算可归结为数（分量）的加法线性运算，这些运算可归结为数（分量）的加法与乘法与乘法.显然，向量的线性运算是矩阵的线性运算显然，向量的线性运算是矩阵的线性运算的特殊情形的特殊情形.定义定义4.1.3 全体全体n维实行向量构成的集合维实行向量构成的集合 ，对于上面定义的向量加法、实数与向量的数乘对于上面定义的向量加法、实数与向量的数乘运算，构成运算，构成n维（实）行向量空间；维（实）行向量空间；类似地，定义类似地，定义n维（实）列向量空间维（实）列向量空间 ；用符号用符号 表示表示 或或 ，称为，称为n维（实）向量维（实）向量空间空间.例4.1.1 设求解：得到的向量得到的向量 称为向量组称为向量组 的的线性线性组合组合，或称，或称 可由可由 线性表出线性表出.定义定义4.1.4 给定给定 中的向量中的向量 实数实数经线性运算经线性运算两个向量的线性组合两个向量的线性组合的几何示意图的几何示意图证明：由向量的线性运算，得证明：由向量的线性运算，得即即例例4.1.2 向量向量 和和 的几个线性组合：的几个线性组合：例例4.1.4 证明：任意证明：任意n维向量维向量 是向量组是向量组的线性组合的线性组合.例例4.1.5 令令 ，能否能否写成写成 和和 的线性组合？的线性组合？解：根据定义，问题即判断向量方程解：根据定义，问题即判断向量方程是否有解是否有解.即即利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形：利用初等行变换将增广矩阵化成行最简形：解是解是因此因此 可以写成可以写成 和和 的线性组合：的线性组合：其增广矩阵为其增广矩阵为当当 是行向量空间时，上式两端转置，得是行向量空间时，上式两端转置，得当当 是列向量空间时，其增广矩阵为是列向量空间时，其增广矩阵为有无解有无解.一般地，判断一般地，判断 能否由向量组能否由向量组 线性线性表出，即判断向量方程表出，即判断向量方程线性方程组的线性方程组的向量表示形式向量表示形式定义定义4.1.5 设设 由由 的的所有可能的线性组合构成的集合称为由所有可能的线性组合构成的集合称为由 张成（生成）的张成（生成）的 的子集的子集，记为，记为 即即 若若 和和 是非零向量，且不共线，则是非零向量，且不共线，则 表表示由向量示由向量 和和 确定的平面确定的平面.从几何上看，若从几何上看，若 是非零向量，则是非零向量，则 表示表示由向量由向量 确定的直线确定的直线.例例4.1.6 令令 则则最后一个方程是最后一个方程是 方程组无解，即方程组无解，即 不不在在 中中.是是 中过原点平面中过原点平面.判断判断 是否位于此平面中是否位于此平面中.解：考虑向量方程解：考虑向量方程 其增广矩阵其增广矩阵为为