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2006年山东高考理科数学真题及答案

第I卷（共60分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选其他答案标号，不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，P(A·B)=P(A)·P(B)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.
（1）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
（2）函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是

（A） （B） （C） （D）
(3)设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
（4）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=
(A) 1 （B）2 （C）—1 （D）
（5）设向量a=(1,2),b=(－1,1),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
(6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

（7）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
(A) (B) (C) (D)
（8）设p：x－x－20>0,q：<0,则p是q的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
（10）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－,其中i=－1，则展开式中常数项是
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
（11）某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
（12）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为
(A) (B) (C) (D)

（12题图）

第II卷（共90分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
（13）若 .
（14）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
（15）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为 .

（15题图）
（16）下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
①将函数y=的图象按向量y=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=
②圆x2+y2+4x-2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2
③若sin(+)= ,则sin(+)=,则tancot=5
④如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分.

（16题图）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）已知f(x)=Asin()(A>0,>0,0<<函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴的距离为2，并过点（1，2）.
（1）求;
（2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008).

（18）（本小题满分12分）
设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间。

（19）（本小题满分12分）
如图ABC-A1B1C1，已知平面平行于三棱锥V-A1B1C1的底面ABC，等边∆ AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且ABC=90°，设AC=2a,BC=a.
（1）求证直线B1C1是异面直线与A1C1的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角A-VB-C的大小.

（19题图）

(20) （本小题满分12分）
袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量的概率分布和数学期望；
(3)计分介于20分到40分之间的概率.

（21）（本小题满分12分）
双曲线C与椭圆有相同的热点，直线y=为C的一条渐近线.
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 过点P(0,4)的直线l，求双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 =，且时，求Q点的坐标.

（22）（本小题满分14分）
已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…
（1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
（3） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.

2006年山东高考理科数学真题参考答案

（1）—（12）DACBD BBAAD CC
(13) 2 (14) 32 (15) (16)
17．（本小题满分12分）
已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.
（I）求
（II）计算.
解：（I）
的最大值为2，.

又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，

.
过点，

又
.
（II）解法一：，

.
又的周期为4，，

解法二：

又的周期为4，，

18．（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.
解：由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表

—
0
+

极小值

从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
A
B
C
A1
V
B1
C1
综上所述：
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.

19．（本小题满分12分）
如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设
（1）求证直线是异面直线与的公垂线；
（2）求点A到平面VBC的距离；
（3）求二面角的大小。

解法1：
（Ⅰ）证明：∵平面∥平面，

又∵平面⊥平面，平面∩平面，
∴⊥平面，

，
又，.
为与的公垂线.
（Ⅱ）解法1：过A作于D，
∵△为正三角形，
∴D为的中点.
∵BC⊥平面
∴，
又，
∴AD⊥平面，
∴线段AD的长即为点A到平面的距离.
在正△中，.
∴点A到平面的距离为.
解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.
由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，
，
即，解得.
即A到平面的距离为.
则

所以，到平面的距离为.
(III)过点作于，连，由三重线定理知
是二面角的平面角。
在中，

。
。
所以，二面角的大小为arctan.
解法二：
取中点连,易知底面，过作直线交。
取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。
（I），，
，
。

又
由已知。
，
而。
又显然相交，
是的公垂线。
（II）设平面的一个法向量，
又
由
取 得
点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。
，设所求距离为。
则

所以，A到平面VBC的距离为.
（III）设平面的一个法向量

由

取

二面角为锐角，
所以，二面角的大小为

20．（本小题满分12分）
袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分介于20分到40分之间的概率。

解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，
则
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为
所以.
（II）由题意有可能的取值为：2，3，4，5.

所以随机变量的概率分布为

2
3
4
5

因此的数学期望为

（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则

21．（本小题满分12分）
双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求点的坐标。

解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由椭圆
求得两焦点为，
对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线
解得 ，
双曲线的方程为
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程：，
则

在双曲线上，

同理有：
若则直线过顶点，不合题意.
是二次方程的两根.

，
此时.
所求的坐标为.
解法二：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程，，则.
，
分的比为.
由定比分点坐标公式得

下同解法一
解法三：
由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程：，则.
，
.
，
，，
又，

即
将代入得

，否则与渐近线平行。
。

解法四：
由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，
则
,
。

同理
.
即 。 （*）
又
消去y得.
当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。
由韦达定理有：

代入（*）式得
所求Q点的坐标为。

22．（本小题满分14分）
已知，点在函数的图象上，其中
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项，并证明

解：（Ⅰ）由已知，

，两边取对数得
，
即
是公比为2的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
（*）

=
由（*）式得
（Ⅲ）

又

又
.