题目2022年北京市高考数学试题(解析版).docx
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1、绝密本科目考试启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷共5页,150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1. 已知全集,集合,则A=( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项【详解】由补集定义可知:A=x-3x-2或1x3,,即 A=(-3,-2(1,3)故选:D 2. 若复数z满足,则( )A. 1B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】【分析
2、】利用复数四则运算,先求出,再计算复数的模【详解】由题意有,故故选:B3. 若直线是圆的一条对称轴,则( )A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,将圆心代入直线计算求解【详解】由题可知圆心为,因为直线是圆的对称轴,所以圆心在直线上,即,解得故选:A4. 己知函数,则对任意实数x,有( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接代入计算,注意通分不要计算错误【详解】,故A错误,C正确;,不常数,故BD错误;故选:C5. 已知函数,则( )A. 在上单调递减B. 在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递增【答案】C【解析】【分析】
3、化简得出,利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为.对于A选项,当时,则在上单调递增,A错;对于B选项,当时,则在上不单调,B错;对于C选项,当时,则在上单调递减,C对;对于D选项,当时,则在上不单调,D错.故选:C.6. 设是公差不为0的无穷等差数列,则“为递增数列”是“存在正整数,当时,”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为,则,利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为,则,记为不超过的最大整数.若为单调递增数列,则
4、,若,则当时,;若,则,由可得,取,则当时,所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”;若存在正整数,当时,取且,假设,令可得,且,当时,与题设矛盾,假设不成立,则,即数列是递增数列.所以,“是递增数列”“存在正整数,当时,”.所以,“是递增数列”是“存在正整数,当时,”的充分必要条件.故选:C.7. 在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是下列结论中正确的是( )A. 当,时,二氧化碳处于液态B. 当,时,二氧化碳处于气态C. 当,时,
5、二氧化碳处于超临界状态D. 当,时,二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】【分析】根据与的关系图可得正确的选项.【详解】当,时,此时二氧化碳处于固态,故A错误.当,时,此时二氧化碳处于液态,故B错误.当,时,与4非常接近,故此时二氧化碳处于固态,另一方面,时对应的是非超临界状态,故C错误.当,时,因, 故此时二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选:D8. 若,则( )A. 40B. 41C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令,则,令,则,故,故选:B.9. 已知正三棱锥的六条棱长均为6,S是及其内部的点构成的集合设集合,则T表示的区域的面积为( )A. B. C
6、. D. 【答案】B【解析】【分析】求出以为球心,5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】设顶点在底面上的投影为,连接,则为三角形的中心,且,故.因为,故,故的轨迹为以为圆心,1为半径的圆,而三角形内切圆的圆心为,半径为,故的轨迹圆在三角形内部,故其面积为故选:B10. 在中,P为所在平面内的动点,且,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系,设,表示出,根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得;【详解】解:依题意如图建立平面直角坐标系,则,因为,所以在以为圆心,为半径的圆上运动,设,所以,所以,其中,因为
7、,所以,即;故选:D第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分11. 函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组,解得即可;【详解】解:因为,所以,解得且,故函数的定义域为;故答案为:12. 已知双曲线的渐近线方程为,则_【答案】【解析】【分析】首先可得,即可得到双曲线的标准方程,从而得到、,再跟渐近线方程得到方程,解得即可;【详解】解:对于双曲线,所以,即双曲线的标准方程为,则,又双曲线的渐近线方程为,所以,即,解得;故答案为:13. 若函数的一个零点为,则_;_【答案】 . 1 . 【解析】【分析】先代入零点,求得
8、A的值,再将函数化简为,代入自变量,计算即可.【详解】,故答案为:1,14. 设函数若存在最小值,则a的一个取值为_;a的最大值为_【答案】 . 0(答案不唯一) . 1【解析】【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论,可知,符合条件,不符合条件,时函数没有最小值,故的最小值只能取的最小值,根据定义域讨论可知或, 解得 .【详解】解:若时,;若时,当时,单调递增,当时,故没有最小值,不符合题目要求;若时,当时,单调递减,当时,或,解得,综上可得;故答案为:0(答案不唯一),115. 己知数列各项均为正数,其前n项和满足给出下列四个结论:的第2项小于3; 为等比数列;为递减数列; 中存在
9、小于的项其中所有正确结论序号是_【答案】【解析】【分析】推导出,求出、的值,可判断;利用反证法可判断;利用数列单调性的定义可判断.【详解】由题意可知,当时,可得;当时,由可得,两式作差可得,所以,则,整理可得,因为,解得,对;假设数列为等比数列,设其公比为,则,即,所以,可得,解得,不合乎题意,故数列不是等比数列,错;当时,可得,所以,数列为递减数列,对;假设对任意的,则,所以,与假设矛盾,假设不成立,对.故答案为:.【点睛】关键点点睛:本题在推断的正误时,利用正面推理较为复杂时,可采用反证法来进行推导.三、解答题共6小愿,共85分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程16. 在中,(1)求;
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