2019_2020学年新教材高中数学第四课考点突破素养提升新人教A版必修第一册.doc

第四课
考点突破·素养提升
素养一　数学运算
角度1　指数、对数的运算
【典例1】(1)计算(0.064-++16-0.75+(0.01,
(2)计算:10-log98·log4.
(3)设3x=4y=36,求+的值.
【解析】(1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=.
(2)10-log98·log4
=10lg 9÷10lg 4-·=-·
=-=2.
(3)因为3x=36,4y=36,所以x=log336,y=log436,
由换底公式得x==,
y==,所以=log363,=log364,所以+=2log363+log364=log36(32×4)
=log3636=1.
【类题·通】
1.指数的运算
注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.
2.底数相同的对数式化简的两种基本方法
(1)“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.
(2)“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差).
【加练·固】
1.计算:log89·log2732-()lg 1+log535-log57=________. 
【解析】log89·log2732-()lg 1+log535-log57=×-1+log5=×-1+1=.
答案:
2.计算:+(0.002-10(-2)-1+.
【解析】原式=(-1+-+1=+(500-10+1=
+10-10-20+1=-.
角度2　求函数的零点
【典例2】函数f(x)=的零点的个数为______. 
【解析】当x≤0时,令2x2-x-1=0,解得x=-(x=1舍去);当x>0时,令3x-4=0,解得x=log34,所以函数f(x)=有2个零点.
答案:2
【类题·通】
函数零点的求法
求函数的零点即解相应方程的根,一般多涉及二次方程、指数方程、对数方程等,解二次方程一般需要用到十字相乘法、求根公式,指数、对数方程往往需要用到指数与对数的互化等.
【加练·固】
函数f(x)=的零点为________. 
【解析】当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),当x>0时,令-2+ln x=0,
即ln x=2,解得x=e2.
答案:-3,e2
角度3　　函数零点、方程的根所在区间的判断
【典例3】方程log3x+x=3的根所在的区间为 (　　)
A.(0,2)　　　B.(1,2)　　　C.(2,3)　　　D.(3,4)
【解析】选C.令f(x)=log3x+x-3,
则f(x)在(0,+∞)上是连续的,且是单调递增的,
f(2)=log32+2-3=log3<0,
f(3)=log33+3-3=1>0,
所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2,3).
【类题·通】
函数零点存在定理的应用
(1)函数的零点、方程的根所在区间判断的依据是零点存在定理,即在区间(a,b)上是否有f(a)f(b)<0.
(2)端点值为指数、对数形式时,需要利用指数、对数的单调性、相应的运算性质比较大小,以确定正负.
(3)特别地,在区间(0,a]上,对数函数y=logax,当a>1,x→0时,y→-∞;当0<a<1,x→0时,y→+∞.
因此无法代入运算,但是可以估计其正负,只要再计算当x=a时的值即可.
【加练·固】
已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是 (　　)
A.(0,1)　　 B.(1,2)　　 C.(2,4)　　 D.(4,+∞)
【解析】选C.由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上是连续的,且是单调递减.f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0.
由零点存在性定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.
素养二　直观想象
角度1　基本初等函数的图象问题
【典例4】已知a>0且a≠1,函数y=,y=logax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是 (　　)

【解析】选B.当a>1时,那么0<<1,y=是减函数,y=logax是增函数.y=x+a与y轴的交点大于1,此时没有图象满足;
当0<a<1时,那么>1,y=是增函数,
y=logax是减函数.y=x+a与y轴的交点在0与1之间,此时图象B满足.
【类题·通】
函数图象的画法
画法
应用范围
画法技巧
基本
函数
法
基本初等函数
利用一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画出特殊点(线),直接根据函数的图象特征作出图象
变换法
与基本初等函数有关联的函数
弄清所给函数与基本初等函数的关系,恰当选择平移、对称等变换方法,由基本初等函数图象变换得到函数图象
描点法
未知函数或较复杂的函数
列表、描点、连线
角度2　数形结合思想的应用
【典例5】已知f(x)=g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,则m的取值范围是 (　　)
A.[-1,+∞)　　　　　　 B.[-1,0)
C.[0,+∞) D.[1,+∞)
【解析】选A.

g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在两个零点,可得g(x)=0,即f(x)=-x-m有两个不等实根,即有函数y=f(x)和直线y=-x-m有两个交点,作出y=f(x)的图象和直线y=-x-m,
当-m≤1,即m≥-1时,y=f(x)和y=-x-m有两个交点.
【延伸探究】
本题若改为方程f(x)+x+m=0有唯一的根,试求m的范围.
【解析】方程f(x)+x+m=0有唯一的根,
即方程f(x)=-x-m有唯一的根,
令g(x)=-x-m,作出函数f(x),g(x)的图象如图,当-m>1,m<-1时,两函数的图象有唯一的交点,故当m<-1时,方程f(x)+x+m=0有唯一的根.
【类题·通】
数形结合巧解与函数零点和方程的解有关的问题
(1)依据:方程f(x)=0的实根、函数f(x)的零点和函数f(x)与x轴交点的横坐标可实现相互转化.
(2)题型:①确定零点或方程的根所在区间
构建函数模型,先由图象分析出零点或方程的根的大致范围,再由零点存在性定理,求出精确范围.
②确定零点或方程根的个数
灵活构造函数(目标是所构造的函数图象容易画出),转化为函数图象交点个数问题.如本例中g(x)=f(x)+x+m有两个零点,转化为g(x)的图象与x轴有两个交点.此时g(x)的图象不易画出,于是转化为y=f(x)与y=-x-m的图象交点个数问题.
【加练·固】
已知函数f(x)=|x-2|-|x|+m(m∈R).若方程f(x)=-x有三个不同的解,求实数m的取值范围.
【解析】由函数f(x)=|x-2|-|x|+m(m∈R),方程f(x)=-x有三个不同的解,
等价于g(x)=|x-2|-|x|的图象与直线y=-x-m有3个不相同的交点,如图:

直线y=-x-m经过A(0,2)时,m=-2;当直线经过B(2,-2)时,m=0,于是由题意可得-2<m<0,实数m的取值范围为(-2,0).
素养三　逻辑推理
角度1　比较大小
【典例6】设a=0.70.4,b=0.40.7,c=0.40.4,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.b<a<c　　　　 B.a<c<b
C.b<c<a D.c<b<a
【解析】选C.因为函数y=0.4x在R上单调递减,所以0.40.7<0.40.4,即b<c,因为y=x0.4在(0,+∞)上单调递增,所以0.40.4<0.70.4,即c<a,所以b<c<a.
【延伸探究】将本例中的三个数改为a=log37,b=21.1,c=0.83.1,试比较三个数的大小.
【解析】因为2>a=log37>1,b=21.1>2,c=0.83.1<1,所以c<a<b.
【类题·通】
比较函数值的大小的一般步骤
(1)根据函数值的特征选择适当的函数.
(2)根据所选函数的单调性,确定两个函数值的大小.
(3)当两个函数值不能直接比较时,常选择两个对应函数,再进行比较.
(4)必要时,可先将函数值与特殊值0和1进行比较,最后确定它们的大小关系.
【加练·固】
若a>b>0,0<c<1,则 (　　)
A.logac<logbc　　　　 B.logca<logcb
C.ac<bc D.ca>cb
【解析】选B.方法一:对于A,当a=3,b=2,c=时,
loga c=log3=-log32>-1,
logbc=log2=-1,
故logac>logbc.故A不成立.
对于B,因为0<c<1,所以y=logcx为减函数,
又a>b>0,所以logca<logcb,故B成立.
对于C,当a=3,b=2,c=时
ac==,bc==
故 ac>bc,所以C不成立.
对于D,因为0<c<1,所以y=cx为减函数,
又a>b>0,所以ca<cb,故D不成立.
方法二:取a=4,b=2,c=,
则log4=->log2,排除A;=2>,排除C;<,排除D.
角度2　基本初等函数的奇偶性、单调性
【典例7】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,若a=f(log25),b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a<b<c　　　　　　　　 B.c<b<a
C.b<a<c D.c<a<b
【解析】选B.根据题意,函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,则函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,则0<20.8<21=2<log24.1<log25,则c<b<a.
【类题·通】
关于初等函数的性质的应用
此类题目往往以指数函数、对数函数、幂函数为载体,涉及函数的奇偶性、单调性、图象等性质的综合应用,一般是先由函数的性质转化,再利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解题.
【加练·固】
已知函数f(x)=是奇函数,若f(2m-1)+f(m-2)≥0,则m的取值范围为
(　　)
A.m>1　　　　　 B.m≥1
C.m<1 D.m≤1
【解析】选B.因为函数f(x)=的定义域为R,且是奇函数,所以f(0)==0,即a=-1.所以f(x)==2x-,因为2x在(-∞,+∞)上为增函数,所以函数f(x)=2x-在(-∞,+∞)上为增函数,由f(2m-1)+f(m-2)≥0,得f(2m-1)≥f(-m+2),所以2m-1≥-m+2,可得m≥1.所以m的取值范围为m≥1.
素养四　数学建模
角度　函数模型的应用
【典例8】某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点,研究表明:用该技术进行淡水养虾时,在一定的条件下,每尾虾的平均生长速度为 g(x) (单位:千克/年),养殖密度为 x(单位:尾/立方分米),x>0 ,当 x 不超过4时,g(x) 的值恒为2;当4≤x≤20,g(x) 是 x 的一次函数,且当x达到20时,因养殖空间受限等原因,g(x)的值为0.
(1)当 0<x≤20 时,求函数 g(x) 的解析式.
(2)在(1)的条件下,求函数 f(x)=x·g(x)的最大值.
【解析】(1)当4≤x≤20时,设g(x)=kx+b,
由条件可知解得:
所以g(x)=
(2)f(x)=
所以f(x)在(0,10]上单调递增,在(10,20]上单调递减,所以f(x)的最大值为f(10)=.
【类题·通】
建模的三个原则
(1)简化原则:建立模型,要对原型进行一定的简化,抓主要因素、主变量,尽量建立较低阶、较简便的模型.
(2)可推演原则:建立的模型一定要有意义,既能对其进行理论分析,又能计算和推理,且能推演出正确结果.
(3)反映性原则:建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系,即应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明现实问题的功能,能回到具体研究对象中去解决问题.
【加练·固】
通过实验数据可知,某液体的蒸发速度y(单位:升/小时)与液体所处环境的温度x(单位:℃)近似地满足函数关系y=ekx+b(e为自然对数的底数,k,b为常数).若该液体在0 ℃的蒸发速度是0.1升/小时,在30 ℃的蒸发速度为0.8升/小时,则该液体在20 ℃的蒸发速度为________升/小时. 
【解析】根据题意得,当x=0时,y=0.1,即eb=0.1,当x=30时,y=0.8,即e30k+b=0.8,所以e30k=8,所以e10k=2,
当x=20时,y=e20k+b=e20k·eb=(e10k)2·eb=22×0.1=0.4,即液体在20 ℃的蒸发速度是0.4升/小时.
答案:0.4

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