【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.8.docx

第九章 9.8第8课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(　　)
A.　　　　　　　 　　B.
C．|a| D．－
答案　B
解析　∵y2＝ax，∴p＝，即焦点到准线的距离为，故选B.
2．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
A. B．3
C. D.
答案　A
解析　记抛物线y2＝2x的焦点为F，准线是直线l，则点F的坐标是(，0)，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于＝，选A.
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)
A. B．4
C. D．5
答案　C
解析　设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F(，0)，又点A(，4)在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x＝－，
则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.故选C.
4．与直线4x－y＋3＝0平行的抛物线y＝2x2的切线方程是(　　)
A．4x－y＋1＝0 B．4x－y－1＝0
C．4x－y－2＝0 D．4x－y＋2＝0
答案　C
解析　y′＝4x＝4∴x＝1，y＝2，过(1,2)斜率为4的直线为y－2＝4(x－1)．
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．假如直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)
A．4 B．8
C．8 D．16
答案　B
解析　由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，
又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
答案　B
解析　抛物线的焦点F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.
二、填空题
7．假如直线l过定点M(1,2)，且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，那么l的方程为________．
答案　x＝1或y＝4x－2
解析　当过M(1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与抛物线有一个交点；当M(1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y＝k(x－1)＋2，与抛物线方程联立得2x2－k(x－1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k＝4，故直线方程为y＝4x－2.故x＝1或y＝4x－2.
8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________．
答案　8
解析　抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8.
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
答案　2
解析　设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线方程为y＝x－，把x＝y＋代入y2＝2px得，y2－2px－p2＝0，∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4，∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2，∴(2p)2－4×(－p2)＝32，又p>0，∴p＝2.
10．抛物线y＝x2上距离点A(0，a)(a>0)最近的点恰好是其顶点，则a的取值范围是________．
答案　0<a≤1
解析　设抛物线上一点P(x，y)，
则|PA|2＝x2＋(y－a)2＝2y＋y2－2ay＋a2
＝y2－2(a－1)y＋a2＝[y－(a－1)]2＋2a－1.
∵y≥0，∴当a－1≤0，即a≤1时，|PA|2有最小值，
而|PA|有最小值，此时y＝0，故0<a≤1.
11．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝2bx的焦点为F，若＝3，则此椭圆的离心率为________．
答案　
解析　∵F(，0)，F1(－c,0)，F2(c,0)且＝3，
∴＝(＋c,0)，＝(c－，0)，∴＋c＝3c－，即2b＝2c.∴b＝c.∴a2＝b2＋c2＝2c2.∴＝e＝.
12．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C.若梯形ABCD的面积为12，则p＝________.
答案　2
解析　依题意，抛物线的焦点F的坐标为(0，)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线AB的方程为y－＝x，代入抛物线方程得，y2－3py＋＝0，故y1＋y2＝3p，|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝4p，直角梯形有一个内角为45°， 故|CD|＝|AB|＝×4p＝2p，梯形面积为(|BC|＋|AD|)×|CD|＝×3p×2p＝3p2＝12，p＝2.
13．当x>1时，直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，4]
解析　由题可知，联立，整理可得x2－ax＋a＝0，当Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切，由于直线恒过定点(1,0)，结合图形可知当a∈(－∞，4)，x>1时直线y＝ax－a恒在抛物线y＝x2的下方．
三、解答题
14．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0)，求此抛物线的方程．
解析　设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
其准线方程为x＝－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AF|＋|BF|＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
由于Q(6,0)在线段AB的中垂线上，
所以QA＝QB，
即(x1－6)2＋y＝(x2－6)2＋y，
又y＝2px1，y＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p
故8－p＝12－2p
∴p＝4
∴所求抛物线方程是y2＝8x
15．已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，＝4.
(1)求抛物线G的方程；
(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
解　(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.
由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，
∴又∵＝4，∴y2＝4y1，③
由①②③及p>0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，则抛物线G的方程为x2＝4y.
(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，
由得x2－4kx－16k＝0，④
∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.
∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，
∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，
对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4.
∴b∈(2，＋∞)．
16．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线x2＝4y上不相同的两个点，l是弦AB的垂直平分线．
(1)当x1＋x2取何值时，可使抛物线的焦点F与原点O到直线l的距离相等？证明你的结论．
(2)当直线l的斜率为1时，求l在y轴上截距的取值范围．
解析　(1)由已知，抛物线x2＝4y，焦点F的坐标为F(0,1).
当l与y轴重合时，明显符合条件，此时x1＋x2＝0.
当l不与y轴重合时，要使抛物线的焦点F与原点O到直线l的距离相等，当且仅当直线l通过点(0，).
设l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx＋，
由已知可得
即
解得x＋x＝－12，无意义．
因此，只有x1＋x2＝0时，抛物线的焦点F与原点O到直线l的距离相等.
(2)由已知可设直线l的方程为y＝x＋b，
则AB所在直线为y＝－x＋m，
代入抛物线方程x2＝4y，得x2＋4x－4m＝0.①
∴x1＋x2＝－4.
设AB的中点为M(x0，y0)，则x0＝－2，y0＝2＋m，
代入直线l的方程得2＋m＝－2＋b，即m＝b－4.
又∵对于①式有Δ＝42－4×1×(－4m)＝16＋16m>0，
解得m>－1.
∴b－4>－1，即b>3.
∴l在y轴上截距的取值范围为(3，＋∞)．

拓展练习·自助餐

1．过抛物线的焦点F作相互垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点(　　)
A．共圆　　　　　　　　　 B．共线
C．在另一抛物线上 D．分布无规律
答案　B
解析　设M(x1，y1)、N(x2，y2)，抛物线方程为
y2＝2px，则F(，0)，准线x＝－.
∴P(－，y1)，Q(－，y2)．
由PF⊥QF，得·＝－1.
∴y1y2＝－p2，
kMF＝＝，
kNF＝＝＝.
∴kMF＝kNF.
∴M、N、F三点共线．
2．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________．
答案　32
解析　设直线方程为x＝ky＋4，与抛物线联立得y2－4ky－16＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16，
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32，
故最小值为32.
3．抛物线y2＝x上的点到直线x－2y＋4＝0的距离最小的点的坐标是________．
答案　(1,1)
解析　设(t2，t)为抛物线上一点，则
d＝＝＝≥
当且仅当t＝1时取等号．
∴该点坐标为(1,1)．
4．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y＝2px2(p>0)的准线相切，则p＝________.
答案　
解析　把圆配方得(x－3)2＋y2＝16，y＝2px2(p>0)即x2＝y的准线为y＝－，它与圆相切．∴－＝－4，p＝.
5．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，准线与x轴交于点A，过A且斜率为k的直线l与抛物线C交于P、Q两点，
若∠PFQ为钝角，求直线l的斜率k的取值范围．
解析　设F(1,0)，A(－1,0)，P(，y1)，Q(，y2)
由已知可得：y1y2＝4
由∠PFQ为钝角，知·＜0，
∴(－1)(－1)＋y1y2＜0，
－＋1＋y1y2＜0，
6－＜0，
得(y1＋y2)2＞32,
∴y1＋y2＜－4或y1＋y2＞4
又k＝＝，
∴－＜k＜0或0＜k＜.