2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：3.6简单的三角恒等变换.docx

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课时提升作业(二十一)
一、选择题
1.等于( )
（A）-sin α （B）-cos α （C）sin α （D）cos α
2.函数y=sin 2xcos 2x是( )
（A）周期为的奇函数 （B）周期为的偶函数
（C）周期为的奇函数 （D）周期为的偶函数
3.已知sin,sin(-β)=-，且α∈(0,π)，β∈(0,)，则β等
于( )

4.已知函数f(x)= -asincos(π-)的最大值为2，则常数a的值
为( )

5.（力气挑战题）若函数f(x)=(sin x+cos x)2-2cos2x-m在［0，］上有零点，则实数m的取值范围为( )
(A)［-1，］ (B)［-1，1］
(C)［1，］ (D)［-，-1］
6.（2021·中山模拟）给出下列的四个式子：已知其中至少有两个式子的值与tan θ的值相等，则( )
（A）a=cos 2θ,b=sin 2θ
（B）a=sin 2θ,b=cos 2θ
（C）a=sin,b=cos
（D）a=cos,b=sin
二、填空题
7.（2021·东莞模拟）化简=_______.
8.（力气挑战题）函数y=(acos x+bsin x)cos x有最大值2，最小值-1，则实数（ab)2的值为_______.
9.函数y=的单调递增区间为________.
三、解答题
10.（2021·阳江模拟）已知函数f(x)=cos2(x-)-sin2x.
（1）求f()的值.
（2）若对于任意的x∈［0,］，都有f(x)≤c,求实数c的取值范围.
11.（力气挑战题）已知函数f(x)=2sin(x-),x∈R.
（1）求f()的值.
（2）设α,β∈［0,］,f(3α+)=，f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
12.（2021·湛江模拟）已知向量a=(,cos ωx),b=(sin ωx,1),函数f(x)=a·b，且最小正周期为4π.
(1)求ω的值.
(2)设α,β∈［,π］,f(2α-)=,f(2β+)=-,求sin(α+β)的值.
(3)若x∈［-π,π］，求函数f(x)的值域.
答案解析
1.【解析】选D.原式=
=
=cos α.
2.【思路点拨】利用倍角公式化简成y=Asin ωx的形式，即可得其相应性质.
【解析】选A.y=sin 2xcos 2x=sin 4x,
∴最小正周期为
∵f(-x)=-f(x),
∴函数y=sin 2xcos 2x是奇函数.
3.【思路点拨】依据题意，由同角三角函数的基本关系求得cos和cos(-β)的值,由cos β=cos［-(-β)］=coscos(-β)+sin sin(-β)求出结果.
【解析】选C.由题意可得cos=，cos(-β)=,
cos β=cos［-(-β)］=coscos(-β)+
sin sin(-β)=
∴锐角β=.
4.【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+)的形式，再利用最大值求得a.
【解析】选C.由于f(x)=
=(cos x+asin x)= cos(x-)(其中tan =a),所以=2,解得
a=±.
5.【解析】选A.f（x）=（sin x+cos x）2-2cos2x-m
=1+sin 2x-2cos2x-m
=1+sin 2x-1-cos 2x-m
=sin（2x-）-m.
∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴-≤2x-≤，
∴-1≤sin（2x-）≤，
故当-1≤m≤时，f(x)在［0，］上有零点.
6.【解析】选A.∵tan θ=
∴a=cos 2θ,b=sin 2θ时，式子①③与tan θ的值相等，故选A.
7.【解析】
答案：-
8.【解析】y=acos2x+bsin xcos x
=a·sin 2x

∴a=1,b2=8，∴(ab)2=8.
答案：8
【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧
(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简洁的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.
(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换经常首先查找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点．
(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要擅长观看角的差异，留意拆角和拼角的技巧；观看函数名称的异同，留意切化弦、化异为同的方法的选用；观看函数式结构的特点等.
①留意把握以下几个三角恒等变换的常用方法和简洁技巧：
(ⅰ)常值代换，特殊是“1”的代换，如1=sin2θ+cos2θ等；
(ⅱ)项的分拆与角的配凑；
(ⅲ)降次与升次.
②对于形如asinθ+bcosθ的式子，要引入挂念角并化成sin(θ+)的形式，这里挂念角所在的象限由a,b的符号打算，角的值由tan=确定.对这种思想，务必强化训练，加深生疏.
9.【思路点拨】利用倍角公式开放约分后化为正切再求解.
【解析】y=

答案：（2kπ-,2kπ+），k∈Z
10.【解析】（1）f()=cos2(-)-sin2=cos=.
(2)f(x)=［1+cos(2x-)］-(1-cos 2x)
=［cos(2x-)+cos 2x］
=(sin 2x+cos 2x)
=sin(2x+).
由于x∈［0, ］,所以2x+∈［,］,
所以当2x+=,即x=时,
f(x)取得最大值.
所以对于任意的x∈［0, ］,f(x)≤c等价于≤c.
故对于任意的x∈［0, ］,都有f(x)≤c时，c的取值范围是［,+∞).
【变式备选】设函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1(x∈R).
(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期.
（2）若x∈［0,］，求函数f(x)的最大值与最小值.
【解析】（1）∵f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1
=cos 2x+sin 2x
=2sin(2x+),
∴函数f(x)的最小正周期T=π.
（2）∵0≤x≤,∴≤2x+≤,
∴-≤sin(2x+)≤1,
∴-1≤2sin(2x+)≤2,
∴当2x+=,
即x=时,f(x)min=-1;
当2x+=,
即x=时,f(x)max=2.
11.【解析】（1）f()=2sin(-)=2sin =.
(2)f(3α+)=2sin α=,
∴sin α=.又α∈［0, ］,∴cos α=,
f(3β+2π)=2sin(β+)=2cos β=,
∴cos β=.
又β∈［0, ］,∴sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=.
12.【解析】(1)由已知，易得f(x)= sin ωx+cos ωx=
2sin(ωx+)，F(x)的最小正周期为4π,即T= =4π,解得ω=.
(2)由（1）知f(x)=2sin(x+),则f(2α-)=
2sin［(α-)+ ］=2sin α=,
所以sin α=,又α∈［,π］，所以cos α=-,
同理f(2β+)=2sin［(β+)+］=2sin(β+)=2cos β=-,
所以cos β=-,又β∈［,π］，所以sin β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-.
(3)当x∈［-π,π］时，
令t=,则t∈［］,
原函数可化为f(t)=2sin t,t∈［］,
当t=-时，f(t)min=-;
当t=时，f(t)max=2,
所以，函数f(x)的值域为［-,2］.
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