大型电力变压器铁心电磁振动数学模型.pdf
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1、第 4 1 卷第 6期 2 0 0 4年 6月 多 淦 诊 T R峨5 冤月 V o l . 4 1 J u n e N o . 6 2 0 0 4 大型电力变压器铁心电磁振动数学模型 王志敏 , 顾文业 , 顾晚安“ , 沈荣诚2 ( 1 .上海第二工业大学电子电气学院,上海 2 0 1 2 0 9 ; 2 .上海交通大学,上海 2 0 0 0 3 0 ) 摘要 : 描述了电力变 压器铁心电 磁振动的数字模型建立过程, 讨论了 如何从能量守恒和功能转换的角度描述 表征磁致伸缩现象的磁场力。 并导出了变压器铁心电磁振动的数学模型。 关键词: 电力变压器;铁心;磁致伸缩;振动;数学模型 中图分类
2、号: T B 5 3 5文献标识码: A文章编号: 1 0 0 1 - 8 4 2 5 ( 2 0 0 4 ) 0 6 - 0 0 0 1 - 0 6 1 引言 电力系统中安装了大量的电力设备( 如发电机和 变压器) 来生产、 输送、 分配电能。其中电力变压器是 利用电磁感应原理来升高或降低电压的一种静止的 电能转换器。 在变压器的铁心中分布着正弦交变的电 磁场, 交变磁场将诱发硅钢片发生振动, 这种振动将 产生变压器本体噪声。 变压器的额定工作磁密通常取 1 .4 T - 1 .8 T 。 早期的国内外研究和试验证明lil , 在这样的 磁密范围内, 负载电流产生漏磁所引起的绕组、 油箱 壁
3、( 包括磁屏蔽等) 的振动, 要比硅钢片的磁致伸缩的 铁心振动小得多, 可以忽略。变压器的噪声主要取决 于铁心振动辐射噪声。 但是随着变压器单台容量的不 断扩大, 研究人员发现负载电流引起的噪声( 如负载 电流在磁屏蔽中产生的噪声等) 在变压器本体噪声中 所占的比例越来越大, 现在新的I E C标准已要求测负 载噪声。 本文首先讨论了变压器铁心振动的特点。 通常变 压器的铁心由硅钢片叠制而成, 由于每一叠片都与整 个绕组交链, 所以所有叠片中的电磁场都相同, 因此 分析单片硅钢片的振动特性具有重要意义。 本文将电 磁场理论与弹性力学理论相交叉, 选取变压器铁心单 片硅钢片为研究对象, 建立描述
4、电力变压器铁心电磁 振动的数学模型。需要说明的是, 文中所述的建模方 法不仅仅适用于电力变压器, 也适用于其它与变压器 具有相似磁路结构的电力设备。 2 磁场力的数学表达la 基于简化的励磁模型, 线性、 各向同性的铁磁介 质所受的磁场力体积力密度为: 式中 产一- 磁场力体积力密度矢量 子 一 一 - 电流密度矢量 B 磁感应强度矢量 H 磁场强度 A 介质的磁导率 一介质的体积密度 ( 注:文中所有变量的单位均遵照国际电磁量单位 制。) 式( 1 ) 中的第一项是洛仑兹力, 第三项用来表征 磁致伸缩现象。对于线性、 各向同性的铁磁介质, 可 以认为介质的磁导率只与其体积密度有关。 式( 1
5、 ) 中的磁场力体积力密度为矢量形式, 将其 分解成沿直角坐标的三个分量, 经推导可得: f x= 器 g H xZ- 答 (二 一 A lla T 小 a a (A H X ,)+ a Z (A H .H x) fr 会 (, 命 f r21 F 答 (; 一 半小 a (A H ,H x), , 介 a (A %)+ ay (laH yH x)+ a IX x2_aZ 答 (二 一 T a T ) 引人应力概念, 磁场力也可写成张量形式: Y 2- w ( - T a ) I A H 刀, F ,H , PH 方一 N r 琴 - T k) a 丁 四 兀 _ _ , , ,尸 , _ a
6、 “ 、 pn : 一二一l f - 7 J- -1 O 丁 广leswesees一L 一- S .f = J x B - 1 H Z 、 ; + 粤; (W T 华) 乙口丁 ( 1 )( s 万方数据 司落 3 变压器铁心铁磁材料的几何特点及其力 学模型 广义应力应变关系是: M= DK ( 9 ) 其中弹性关系矩阵D是: 为了减少磁路中的涡流损耗,电力变压器的铁 心均用厚度为0 .2 7 m m - 0 . 3 0 m m的铁磁材料 ( 硅钢 片) 叠制而成。其厚度与长度和宽度方向尺寸相比, 数量级通常在 1 0 - 3 _ 1 0 - 4 ;铁磁材料的材料属性是弹 性体,所以它的振动问
7、题可以归结为弹性薄板的弯 曲振动。硅钢片弯曲的坐标系如图1 所示。 ( 1 0 ) ,一1.1 00刁 月.1 11Vnll 尸leses.eeesesesesL 0 D 一一 D 其中, D , = E t 1 2 ( 1 - v 勺 是板的弯曲刚度。E是材料的弹 z ( k ) 性模量, : 是材料的泊松比。 将广义应力应变关系式( 9 ) 和几何关系式( 6 ) 代 人平衡方程 a 讥 a x z + 2 旦 2M+ 2 a x - + 嘿 + q (x ,y )= 0 ( 1 1 ) o xa yq , y 的 图 1 硅钢片弯曲的坐标系 基于板的厚度( : 方向尺寸) 比其它两个方向
8、尺 寸小得多, 以及挠度比厚度又小得多的假设, 在用弹 性薄板理论分析板的弯曲问题时,忽略厚度方向的 正应力,认为薄板中面内的各点没有平行于中面的 位移, 薄板中面的法线在变形后仍保持为法线。 利用 上述假设可以将薄板的弯曲问题简化为二维问题且 全部应力和应变可用板中面的挠度。 表示。 取板的中面为x y 平面, : 轴垂直于中面, 如图1 所示 , 则广义应变为3 ) 可以得到求解挠度 v 的微分方程: lz)下 n, a 4 v . n a 4 v 卫 少nl tG 一- 二 一 一 a x a x a y . a 4 v、 十 n _ .4 ) = q l x 1 -y l o y 式中
9、, q (x , y ) 是作用在板表面z 方向的分布载荷。 ( 6 ) 面将讨论如何基于电力设备( 如电力变压器) 的铁心 结构和硅钢片的几何特点导出q ( x ,力 的数学表达式。 4 基于变压器铁心铁磁材料几何特点的磁 场力简化数学模型 电力变压器的铁心结构具有对称性 ( 可取为关 于x y 坐标平面对称) 。 由于铁磁材料的磁导率很大, 在忽略局部漏磁的条件下,可以认为所有磁通集中 在铁心磁路中通过。基于上述, 如果选择坐标系( 见 图1 ) , 使x 轴与磁场方向平行, 可得: 1廿、.2 气j4 J.1.1 子r.、产.、 J一叔 k中各个分量分别代表薄板弯曲后中面在x 方向的 曲
10、率, y 方向的曲率以及x 和y 方向的扭率。 薄板的 广义内力是: H = H x ( y ) H ,.= H , = 0 将式( 1 3 ) 分别代人式( 2 ) 、 式( 3 ) 和式( 4 ) 可得: 、1.胜.1几.se.esseseesesseesesJ ,刃一几U. 与-扩与一尹日-叙 a一a。一。2 一一一 rleslesweeseswewell 一一 儿几 立 a y t 一 关再 ( 7 ) f , = 卫 J z 答 (二 一 4a T ) ! 一 争二 一 T a y- ) 一 答 (二 一 a T ) 其中, 从、 从分别是垂直x 轴和垂直y 轴的截面上 单 位长度上
11、的 弯矩, M me ( = M ,. ) 是垂直X 切的 截面上单 位长度的扭矩。根据应力沿z 方向成线性分布的性 质由从, M , , M . 可以计算板内任一点的应力, 设板 的厚度为 t , 则 磁场力F可表示为: ; = j f d V = i f d V +j f d V + k f f zd V v vFv 二12 M x zis, 二12 M y zt3, 二 、1 2 M , zt3 俘(; 一 器 )dy dz +j “ 企22 (二 一 a )dx dz zII H(二 一 T - A- )d x d z + 山0 丁 ( 1 7 ) ( 8 ) 可知 万方数据 第 6期
12、 王志敏、 顾文业、 顾晓安、 沈荣流: 大型电力变压器铁心电磁振动数学模型 、 、 = 企 2 -(11 - T a )d x d y ( 1 8 ) 5 表征磁致伸缩现象的磁场力的数学描述 磁致伸缩现象是一种发生在铁磁质中的独特现 象。 从宏观上说, 所谓磁致伸缩就是励磁时沿磁力线 方向材料的尺寸要增加,而垂直于磁力线方向材料 的尺寸要缩小; 从微观上说, 就是在材料的磁化过程 中,材料将从磁化强度方向各异的多磁畴状态变成 与外磁场同方向的单磁畴状态, 与此同时, 介质立体 晶状体结构和原子间距发生变化。 磁致伸缩现象通常用磁致伸缩率 二 来表征, 其 表达式( 以二 方向为例) 为: 切
13、应变。 ( 2 ) 磁致伸缩现象具有周期性, 对于圆频率为。 的正弦交变电磁场, 它的变化频率是2 s in i to t, n = 3 ,4 ,5 ,- - - (2 2 ) 己 二 4 同时大量试验表明5 1 , 在变压器等电力设备的磁路振 动谱中励磁电源频率的两倍频占有较大优势。 因此, 将两倍频取为主部是合理的。 从式( 1 9 ) 可以看出, 磁致伸缩率 二 实际上就是 材料的最大应变。 由弹性力学理论可知, 弹性体发生 形变时, 将具有应变能。单位体积的应变能( 应变能 密度) 可以表示为: 戈一。 华 式中E x 一方向磁致伸缩率( 无量纲) l 一硅钢片x 方向尺寸 A l ,
14、一硅钢片x 方向最大变形量 试验验证推导铁磁质中的磁场力公式时必须充 分考虑介质相邻粒子间的内应力, 即介质内部分子场 的作用( 有关分子场理论的讨论已超出本文的内容) 。 为了解决这个问题, 一些学者运用能量法的虚功原理 提出了自己的计算模型,这些模型理论上比较完善, 但无法用于定量分析, 这点可从式( 1 ) 看出。从式( 1 ) 可知, 表征磁致伸缩现象的磁场力表达式为: U ( E ) = 李E TD :二 2 ( 2 3 ) v 1一 U v I一 U 式中, D I= E ( 1 - v ) ( 1 + v ) ( 1 - 2 v ) 井 1一 U v t一 U leseseeJ
15、凡尽叹 rlesesesJ 碑 1 - v 1 - v f C- .1 、 (H ZT 华 ) 乙d丁 ( 2 0 ) 可 一见 要 想 求 出 f , 首 先 须 求 出 a T , 也 就 是 介 质 的磁导率随介质的体积密度变化的规律。实践证 明4 1 , 无论从数学还是物理的角度考虑, 这都是一件 十分困难的事情。这也导致在整个研究领域内尚未 有一种模型得到广泛的认可。 随着研究工作的深人进行,越来越多的研究人 员认为单从理论分析的角度研究磁致伸缩现象是不 切实际的,应该采用理论分析与试验研究相结合的 方法。本文基于这种思路, 从能量守恒的角度出发, 引入弹性力学中的应变能体积密度概念
16、,用应变能 来表征磁致伸缩现象引起的能量变化,即消耗在使 介质立体晶状体结构和原子间距发生变化的这一部 分能量。从而给出一种既能用于定性分析又能保证 较高计算精度的定量分析的铁磁质中磁场力解析公 式。这种方法基 于下面两个假设 : ( 1 ) 由于铁磁材料( 硅钢片) 沿: 方向, y 方向与 x 方向发生磁致伸缩,所以在计算应变能时忽略剪 式中, E是材料的弹性模量, v 为泊松比。就是说, 这 部分磁场力对铁磁质所作的功转化为应变能储存在 铁磁质中。 当正弦磁场从零变化到四分之一周期时, 磁场强 度达到峰值, 铁磁质的磁致伸缩率也达到峰值, 此时铁 磁质内所具有的应变能最大。由功能转化关系
17、, 可知: 以!0 T一4!0 A (E)d V = 2 ETD ,Ed V T 4 戈 = ! F _ d lxd t+ 0 0 F d l d t ( 2 4 ) 队!0 T一410 式中7 t 一一 时变磁场的周期 考虑到此处 二 是弯曲问题中的线应变,则d l , E d x , 其它方向亦然。 取出式( 2 4 ) 等号右边任一项进行积分, 则任一 方向( x 方向) 的磁场力可以表示为: 双 r F . s i n 2 t o t = c o s i n 2 c o t 乙 M ,( e , ) d V 万方数据 多 FA 曹 = cosin 2 cotsix) 合 E e x3d
18、 V 将式( 2 9 ) 与式( 1 2 ) 相结合, 即可推导出磁准静态场 ( 2 5 )下的 数 学 模型 为: z 方向的磁场力为: F = F ,;_s i n 2 w t = = ce s in 2 co t A l = v n, a 0 V. o a 4V. a 4 -V、 C O ( 止 夕 fl , 一 一 r 一 十L- 二 - , 蔺 : 甲 一 二, 十-1 =一 ; ; 一 一 d x d x d y d y O l 价 风司d V 根据铁磁材料( 硅钢片) 的紧固方式 确定为两端固支, 即 告 E ez3d V (3 0 ) , 可将边界条件 合 E e .3d V
19、( 2 6 ) 于是式( 1 6 ) 可以写成: 4 (x,y)= 誉dxdy+ o 2 E e,3d V (27 ) 假设( 2 ) 将磁场力的高频部分忽略不计, 所以用 上述方法求出的磁场力要大于实际值,这种偏差会 因为假设( 1 ) 而减小。另外, 国外有些学者认为13 , 使 铁磁质发生磁致伸缩现象的能量中还应包括难于计 量的磁交换能, 它也会对磁场力的大小产生影响。 下面对磁场体积力三个方向分量的大小进行讨 论。由于铁磁材料( 硅钢片) 的厚度( : 方向尺寸) 和 长度( x 方向尺寸) 、 宽度( y 方向尺寸) 相比甚小, 所 以 i s 亦是小量。由式( 2 5 ) 和式(
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