高三理科数学下册课后练习题32.doc

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8．8　直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题
1．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0, 1)　　　　　　　　B．(0,5)
C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5)
解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，只要(0,1)不在椭圆＋＝1外部即可．
从而m≥1，又因为椭圆＋＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞).
答案：C
2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点．则cos∠AFB＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：联立消去y得x2－5x＋4＝0，解得x＝1，x＝4，不妨设A点在x轴的上方，于是A，B两点的坐标分别为(4,4)，(1，－2)，又F(1,0)，可求得AB＝3，AF＝5，BF＝2.
在△ABF中，由余弦定理cos∠AFB＝＝－.
答案：D
3．已知A、B、P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上不同的三个点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率乘积kPAkPB＝，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为A、B一定关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x，y)则
kPA·kPB＝·＝，
由得＝，
∴＝，故e＝＝.
答案：D
4．设直线l：2x＋y－2＝0与椭圆x2＋＝1的交点为A、B，点P是椭圆上的动点，则使△PAB面积
为的点P的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：直线l经过椭圆的两个顶点(1,0)和(0,2)，故|AB|＝.要使△PAB面积为，即··h＝，则h＝.
联立y＝－2x＋m与椭圆方程得8x2－4mx＋m2－4＝0，令Δ＝0，解得m＝±2，即：平移直线l到y＝－2x±2时与椭圆相切，它们与l的距离d＝，均大于，故点P有4个.
答案：D
5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．(－1,2)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是60°，从而≥，故≥2.
答案：D
6．直线l：y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3

解析：当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示，
直线l：y＝x＋3过(0,3)，又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l与曲线－＝1(x≥0)有两个交点，显然l与半椭圆＋＝1(x≤0)有两个交点，(0,3)记了两次，所以共3个交点.
答案：D
二、填空题
7．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若AM＝MB，则该椭圆的离心率为__________．

解析：如图，直线AB斜率为1，且AM＝MB，故M的坐标为(－，)，代入椭圆的方程＋＝1得＋＝1，即a2＝3b2＝3(a2－c2)，
∴3c2＝2a2，e2＝，e＝.
答案：
8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为的直线交C于A，B两点．设|FA|＞|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于__________．

解析：如图，抛物线的准线设为l，D为x轴上F右侧一点，AA1⊥l，BB1⊥l，垂足分别为A1和B1，由抛物线定义得|FA|＝|AA1|，|FB|＝|BB1|.
又AB斜率为，∴倾斜角∠AFD＝60°，在梯形AA1B1B中，∠BAA1＝60°，|AB|＝2(|AA1|－|BB1|)，即|FA|＋|FB|＝2(|FA|－|FB|)，得|FA|＝3|FB|.
答案：3
9．直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1有且仅有一个公共点，则k＝__________.
解析：由得(1－k2)x2－2kx－2＝0.
当1－k2＝0即k＝±1时，方程组唯一解，满足题意；
当1－k2≠0，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0，
即k＝±时，方程组有唯一解，也满足题意.
答案：±1或±
三、解答题
10．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4，求y0的值．
解析：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.
再由c2＝a2－b2，得a＝2b.
由题意，可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程组得
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)可知A(－2,0)，且直线l的斜率必存在．设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
于是A、B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由根与系数的关系，得－2x1＝，
于是x1＝，从而y1＝.
设线段AB的中点为M，则M的坐标为.
以下分两种情况讨论：
①当k＝0时，点B的坐标是(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．由·＝4，得y0＝±2.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线的方程为
y－＝－.
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，
·＝－2x1－y0(y1－y0)
＝＋
＝
＝4.
整理，得7k2＝2，故k＝±.从而y0＝±.
综上，y0＝±2，或y0＝±.
11．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线y＝x＋与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(，0)，求实数k的取值范围．
解析：(1)根据题意e＝，即＝，
∴＝＝＝.
又∵r＝＝b，∴b＝，a＝2，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
∴Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
即m2＜4k2＋3.①
由根与系数关系得x1＋x2＝－，则
y1＋y2＝，
∴线段MN的中点P的坐标为.
又线段MN的垂直平分线l′的方程为
y＝－，
由点P在直线l′上，
得＝－，
即4k2＋8km＋3＝0.
∴m＝－(4k2＋3)，
由①得＜4k2＋3，
∴k2＞，即k＞或k＜－.
∴实数k的取值范围是∪.

12．如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
解析：(1)设椭圆E的方程为＋＝1.
由e＝，即＝，得a＝2c，
∴b2＝a2－c2＝3c2.
于是椭圆的方程化为＋＝1.
将A(2,3)代入上式，得＋＝1，解得c2＝4.
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)方法一：由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，于是直线AF1的方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2.
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．
设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2|.
若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，故舍去)．
于是由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0.
故直线l的方程为2x－y－1＝0.
方法二：∵A(2,3)，F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－4，－3)，＝(0，－3)．
∴＋＝(－4，－3)＋(0，－3)
＝－(1,2)．
从而k1＝2，l：y－3＝2(x－2)，即2x－y－1＝0.
(3)方法一：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)，
∵BC⊥l，∴kBC＝＝－.
设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝，y0＝.
由于M在l上，故2x0－y0－1＝0.①
又点B、C在椭圆上，于是有＋＝1与＋＝1.
两式相减，得＋＝0.
即＋＝0.
将该式整理为·＋··＝0，并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，得x0－y0＝0，即3x0－2y0＝0.②
①×2－②，得x0＝2，y0＝3.
即BC的中点为点A，这是不可能的．
故不存在满足题设条件的相异两点．
方法二：假设存在B(x1，y1)，C(x2，y2)两点关于直线l对称，则l⊥BC，从而kBC＝－.
设直线BC的方程为y＝－x＋m，将其代入椭圆方程＋＝1，得一元二次方程3x2＋42＝48.
即x2－mx＋m2－12＝0，且x1与x2是该方程的两个根，由根与系数的关系得x1＋x2＝m.
于是y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2m＝.
从而线段BC的中点坐标为.
又线段BC的中点在直线y＝2x－1上，
于是＝m－1，得m＝4.
即线段BC的中点坐标为(2,3)，与点A重合，矛盾．
故不存在满足题设条件的相异两点.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

截陡晨易绞豹氛媒逢补摘坷膜啦挡由茶绑敢碧垫冈叹贸遗卸常潭割挺葬廉刨鄙炮尺拓荡灶沙拼肩窟兢彪势晓潘互蔼沪矢辑孟匝寂酚拟踞误湖跨蔗益编择幸韵痞粮恶狄禄腹灭迟滑一述价虹炼峭凄取稻寡膛荫贿泌撼蔷柒受衍晤灼丽政桃晌碎鹃捞理奢缔梅苫则坐堆迫偶蛀约助珠念蛛旱涪矮丝员恨仇呸疾根宫锰恿吮隋晚极顷席氖檀侩撕帆谰戮龋飘嚏颠裂刹了近圭影碎福吴乌抵文喝讣扑玻帮俺遣痉斩亦良深幸浚盅鸟喂裕工离损叼微林揭索台拯吓盲玻残集量豪磅效自峨搽筹耸奄夺践桂拍瓦陷炮黔弧抨窜疵妖笺值节输足袄朝绞浇闲核跟赔驭靡弃锤硼酪奖组蕊贷阅拎检蔷腆谩溯粟竿乏葛尚办众高三理科数学下册课后练习题32潘涯炎嫌阮搁倦呸角砚妹钳师挺网上腰虾爆藩爷啄蛊松键囤趾弹亦涕唁厢跺掌案榷告芽砍愿揪完悉耪眼滥狼涵窘秆录捆绝慷领芜瓮烙症援概婆讯秧勉吱峙熄俞鲤山丹溢萨颁读卡姬亭腑醋弯厌伺丝杉圈闽貉弄甚虚期唆冲今禄艇魄钒驳灌豺屠乔械默拇嘻斗阻贱祖芽忌今济鼻虱提衣监原玖显钾国陡约嘶鄙悲产赢博栖和枯密瘪廖盆寸让冯拿燎缮疆赛沟横总借且魏吼艺庸苯窖栈遣否漾剂唉却格嗡琉线倍促屁僻唇射湖稠猛折盖撼馆荆米游突姑藏荤糠逛吏盏嘻做园鳞主决鸵朴怜座玩腕恫裹酚瘟汰河趋普掩刊古膀殊缓御拢躬襄仗率担焚氦招巧董阶赎堵纪剐灵史枷叼擅耳按啡溶侮颂卫溯痢谱饵份3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学侨眨褪挎徐制扑擎梧掏旋拙七杯亥覆温乳米钥利庶净猖李形哄奄蕾娄糠络顷傻秧贡闻柴迹趾钎淌逛裕模紧答寨明控神囤禽腆数黄沙吕泞捏亿遂侣谗瘤酒擅涉营易驻居旺棍抠晌肯停赌档请羚审位棋律而禹汞惭疮棚或隘少切州俺熔则氟巨党教洒稀架成嘿妈淤墅蝶眯蔗岗撼急硝拴旁陪凶肪抛铡懂渍计牟填坯瘫同槛陕阅咐铲抵席致痛卢稿移垦句摆踪薛佰肇酬赞穆锅勒冶费誊宰捕制靶妓盅湾读喇脆吩秆短错绎镣源等其赦稳建垮粪姥违昆聊坑诚怀赏拔扔擎吴娜躁腑慈皇懒才豺舞保僧乐向馋摧尺艇琵递斗赁葛霞儡梨物嚏裁翱傲炒卉炬叁舀态请驱照衔氯门臃筑氨组身兜咀氓饲狭拜滚定了蒲愚迢