山西省六校2022年数学高一上期末调研试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
2．已知集合0，，1，，则　　
A. B.1，
C.0，1， D.
3．函数定义域是　　
A. B.
C. D.
4．若直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为（ ）
A.2 B.1
C. D.
5．在边长为3的菱形中，，，则=（）
A. B.-1
C. D.
6．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，则
A. B.
C. D.
7．设非零向量、、满足，，则向量、的夹角（ ）
A. B.
C. D.
8．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（）

A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积超过
D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
9．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（）
A.{x|－2＜x＜－1} B.{x|－2＜x＜3}
C.{x|－1＜x＜1} D.{x|1＜x＜3}
10．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为（　　）

A. B.
C. D.
12．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．的值为______
14．定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若、是钝角三角形的两个锐角，对（1），为奇数；（2）；（3）；（4）；（5）.则以上结论中正确的有______________.(填入所有正确结论的序号).
15．函数（且）的图像恒过定点______.
16．设x、y满足约束条件，则的最小值是________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数，.
（1）若在区间上是单调函数，则的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由.
18．已知圆经过点，和直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
19．已知函数的部分图象如下图所示.

（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.
20．已知函数
（）用五点法作出在一个周期上的简图．（按答题卡上所给位置作答）
（）求在时的值域
21．已知集合，集合.
（1）求.
（2）求，求的取值范围.
22．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.
（1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；
（2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、A
【解析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.
【详解】解：方程
所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点
记，
画出函数简图如下
画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，
向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，
所以，即
故选A.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题
2、A
【解析】直接利用交集的运算法则化简求解即可
【详解】集合，，
则，故选A
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
3、A
【解析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域
【详解】解：要使函数有意义，则，
得，即，
即函数的定义域为
故选A
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.
4、A
【解析】直线经过两点，，且倾斜角为，则
故答案为A．
5、C
【解析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.
【详解】
.
故选:C.
【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.
6、B
【解析】分析：直接利用余弦定理求cosA.
详解：由余弦定理得cosA=故答案为B.
点睛：(1)本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对余弦定理的掌握水平.(2)已知三边一般利用余弦定理：.
7、B
【解析】根据已知条件，应用向量数量积的运算律可得，由得，即可求出向量、的夹角.
【详解】由题意，，即，
∵，
∴，则，又，
∴.
故选：B
8、B
【解析】先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误
【详解】解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，
故选：B
9、A
【解析】直接根据交集的定义即可得解.
【详解】解：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
所以.
故选：A.
10、A
【解析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：A
11、B
【解析】根据图像得到，，计算排除得到答案.
【详解】根据图像知
选项：，排除；
D选项： ，排除；
根据图像知
选项：，排除；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像的识别，计算特殊值可以快速排除选项，是解题的关键.
12、D
【解析】根据三角函数的图像和性质逐项分析即可求解.
【详解】A中的最小正周期为，不满足；
B中是偶函数，不满足；
C中的最小正周期为，不满足；
D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确.
故选：D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】直接利用对数的运算法则和指数幂的运算法则求解即可
【详解】

14、（1）（4）（5）
【解析】令，结合偶函数得到，根据题意推出函数的周期为，可得（1）正确；根据函数在上是减函数，结合周期性可得在上是增函数，利用、是钝角三角形的两个锐角，结合正弦函数、余弦函数的单调性可得，，再利用函数的单调性可得（4）（5）正确，当时，可得（2）（3）不正确.
【详解】∵，令，得，又是偶函数，
则，∴，
且，可得函数是周期为2的函数.故，为奇数.故（1）正确；
∵、是钝角三角形的两个锐角，
∴，可得，
∵在区间上是增函数，，
∴，即钝角三角形的两个锐角、满足，
由在区间上是减函数得，
∵函数是周期为2的函数且在上是减函数，∴在上也是减函数，又函数是定义在上的偶函数，可得在上是增函数.
∵钝角三角形的两个锐角、满足，，
且，，
∴，.故（4）（5）正确；
当时，，，，，故（2）（3）不正确.
故答案为：（1）（4）（5）
【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性和单调性求解是解题关键.
15、
【解析】根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可.
【详解】由，.此时.
故图像恒过定点.
故答案为：
【点睛】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题.
16、-6
【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用的几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点时，从而得到的最小值即可
【详解】解：由得，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：

平移直线，由图象可知当直线，过点A时，直线截距最大，此时z最小，
由得，即，
代入目标函数，
得
∴目标函数的最小值是﹣6
故答案为：
【点睛】本题考查简单线性规划问题，属中档题

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）或；
（2）存在，且的取值范围是.
【解析】（1）分、两种情况讨论，根据函数在区间上单调可出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围；
（2）分、、、四种情况讨论，分析两个函数在区间上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时在上单调递减.
当时，是二次函数，其对称轴为直线，
在区间上是单调函数，或，即或，
解得：或或.
综上：或.
【小问2详解】
解：①当时，单调递减，单调递增，
则函数单调递增，
因为，，
由零点存在定理可知，存在唯一的使得，
此时，函数与函数在区间上的图象有唯一的交点，合乎题意；
②当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
所以，在上单调递减，单调递增，
则函数在上单调递增，
要使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，
则，解得，此时；
③当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，
则在上单调递减，在上单调递增，
则函数上单调递增，
要使得函数与函数的图象在区间上有唯一的交点，
则，解得，此时；
④当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，
所以，在上单调递增，在上单调递增，
则，，所以，在上恒成立，
此时，函数与函数的图象在区间上没有交点.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
18、 (1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0
【解析】（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；
（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.
试题解析：
（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,
线段AB的垂直平分线方程为，即，
设圆心的坐标为C(a，－a－1)，
则，
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
（解二：可设原方程用待定系数法求解）
（2）由题知圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，
满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，
解得k＝，
∴直线l的方程为y＝（x－2）
综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
19、（1），递增区间为；
（2）.
【解析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由三角函数的图象变换，求得，根据的图象关于直线对称，求得的值，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由图象可知，，
所以，所以，
由图可求出最低点的坐标为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
由，可得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题意知，函数，
因为的图象关于直线对称，
所以，即，
因为，所以，所以.
当时，，可得，
所以，即函数的值域为.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
20、 (1)见解析；（2）值域为.
【解析】分析：(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用，，，，描点作图即可；（）当时，，可得， ，从而可得结果.
详解：（），
，
，
，

五点作图法的五点：
，，，，

（）当时，，
∴，此时，，即，
，此时，，即，
∴在时的值域为
点睛：以三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由不等式，求得，即可求解；
（2）由，得到，列出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
解：由，即，可得，可得集合.
【小问2详解】
解：因为，且集合，
又因为，即，
当时，即，可得，此时满足；
当时，则满足，解得，
综上可得，，即实数的取值范围.
22、（1）第4个月开始盈利
（2）方案①较为合算，理由见解析
【解析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；
（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.
【小问1详解】
由题意得
，即，
解得，∴.
∴该设备从第4个月开始盈利.
【小问2详解】
该设备若干月后，处理方案有两种：
①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，
.
当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，
∴方案①的利润为：（万元）.
②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.
，
∴或时，盈利总额最大，
∴方案②的利润为20+16=36（万元），
∵38>36，
∴方案①较为合算.